Можно сказать, что будущее народного артиста было предопределено: его бабушка и дедушка по отцовской линии были профессиональными актёрами. Под псевдонимом Филиповские они играли в передвижных малороссийских театрах ещё в царское время и выступали на одной сцене с таким великим актёром, как Александр Остужев.
С детства Бурляев мечтал об актёрской карьере, но родители были уверены, что это невозможно из-за заикания, которое появилось у мальчика в пятилетнем возрасте. Интересно, что избавиться от расстройства речи Бурляеву помог именно кинематограф. Для съёмок он самостоятельно старался побороть свой недуг. «Чтобы забыть о заикании, мне необходимо было стать другим человеком. Жить, а не играть», — вспоминал актёр.
Вся жизнь Бурляева полна счастливых совпадений, и главное из них произошло в далёком 1960 году. Обычным будним днём мальчик шёл по улице, когда к нему подошёл ещё никому не известный студент ВГИКа Андрей Кончаловский с вопросом: «Хочешь сниматься в кино?». Так внук профессиональных актёров и будущий народный артист попал на большие экраны — его дебютной работой стала главная роль в выпускной картине Кончаловского «Мальчик и голубь».
