Если погуглить, выдает много сайтов, которые занимаются непосредственно перевозкой животных из города в город. Можно пообщаться ещё с волонтерами, они наверняка владеют информацией. В вконтакте много групп помощи собакам. Координационный центр волонтеров https://vk.com/centr_volonterov_moskvu
попробуйте у них что-то узнать, вы же спасаете собаку от усыпления, я так поняла, волонтеры обычно помогают в таких случаях.