Аноним (Математики) все записи автора

Не могу найти ошибку, а она, должно быть, тривиальна.

Итак:

25-45=16-36

Прибавлем к обеим частям (9/2)^2

25-45+(9/2)^2=16-36+(9/2)^2

Это тоже самое, если рпедставить:

5^2-(2*5*9)/2+(9/2)^2=4^2-(2*4*9)/2+(9/2)^2

Теперь обечасти можно представить как квадрат разности:

(5-9/2)^2=(4-9/2)^2

То есть :

5-9/2=4-9/2

То есть 5=4 !!!!!!!!!

Аноним (Математики) все записи автора

Трое математиков и трое физиков собираются ехать на поезде в другой город на конференцию. Они встречаются перед кассой на вокзале. Первой подходит очередь физиков и они, как все нормальные люди покупают по билету на человека. Математики же покупают один билет на всех. «Как же так?» — удивляются физики — «Ведь в поезде контроллер, вас же без билетов оттуда выгонят!». «Не волнуйтесь» — отвечают математики — «У нас есть МЕТОД».

Аноним (Математики) все записи автора

Когда, например, в спорах о истинности астрологии, меня призывают (обычно в качестве последнего аргумента) к здравому смыслу, я лишь напоминаю, что именно "здравый смысл" в течение тысяч лет отрицал вращение Земли вокруг Солнца, ибо было совершенно очевидно обратное.

В выходны читал заметки Пенроуза относительно искусственого интеллекта, мышления и т.п. ("Новый ум короля") Книга очень любопытная, хотя местами, где он пытается уходить в беллетристику, бывает скучновата. Однако, я там нашед еще один блестящий пример, когда "очевидное" не верно. Речь идет об удивительной теореме  Гудстейна (Goodstein R.L. Journal of symbolic logic)

Чтобы понять суть этой теоремы, рассмотрим любое целое положительное число, скажем, 581. Для начала мы представим его в виде суммы различных степеней числа 2:

581 = 2⁹+2⁶+2²+1.

(Такая процедура применяется для формирования двоичного представления числа 581, а именно, приведения его к виду 1001000101, где единицы соответствуют тем степеням двойки, которые присутствуют в таком представлении, а нули -- тем степеням, которых нет.) Далее можно заметить, что "показатели" в этом выражении -- т.е. 9, 6 и 2 -- могут быть, в свою очередь, представлены аналогичным образом (9=2³+1, 6=2²+2¹, 2=2¹); и тогда мы получим (вспоминая, что 2¹ = 2)

581 = 2^2**3+1+2^2**2+2+2²+1.

** - здесь и далее две звездочки означают возведение в степень.

Здесь все еще есть показатель больший, чем двойка -- в данном случае это "3", -- для которого тоже можно написать разложение 3 = 2¹ + 1, так что в конце концов мы будем иметь

581 = 2^2**2+1+2^2**2+2+2²+1.

А теперь мы подвергнем это выражение последовательности чередующихся простых операций, которые будут

(а) увеличивать "основание" на единицу,

(б) вычитать единицу.

Под "основанием" здесь понимается просто число "2", фигурирующее в исходном выражении, но мы можем сделать то же самое и с бОльшими основаниями: 3,4,5,6,... . Давайте посмотрим, что произойдет при применении операции (а) к последнему разложению числа 581, в результате которой двойки становятся тройками:

3^3**3+1+1+3^3**3+3+3³+1

(что дает -- если выписать его в обычной форме -- сороказначное число, начинающееся с 133027946...). После этого мы применяем (б) и получаем

3³³⁺¹⁺¹+3³³⁺³+3³

(т.е. по-прежнему сорокозначное число, начинающееся с 133027946...). Далее мы выполняем (а) еще раз и получаем

4^4**4+1+1+4^4**4+4+4⁴

(это уже значительно большее число, состоящее из 618 знаков, которое начинается с 12926802...). Следующая операция -- вычитание единицы -- приводит к выражению

4⁴⁴⁺¹⁺¹+4⁴⁴⁺⁴+3x4³+3x4²+3x4+3

(где тройки получаются по той же причине, что и девятки в обычной десятичной/ записи, когда мы получаем 9999, вычитая 1 из 10000). После чего операция (а) дает нам

5^5**5+1+1+5^5**5+5+3x5³+3x5²+3x5+3

(число, которое имеет 10923 знака и начинается с 1274...). Обратите внимание, что коэффициенты "3", которые возникают при этом, с необходимостью меньше, чем основание (в данном случае 5), и не изменяются с возрастанием последнего. Применяя (б) вновь, имеем число

5⁵⁵⁺¹⁺¹+5⁵⁵⁺⁵+3x5³+3x5²+3x5+2,

над которым мы опять производим последовательно действия (а), (б), (а), (б), ... и т.д., насколько возможно. Вполне естественно предположить, что этот процесс никогда не завершится, потому что каждый раз мы будем получать все бОльшие и бОльшие числа. Однако это не так: как следует из поразительной теоремы Гудстейна, независимо от величины исходного числа (581 в нашем примере), мы в конце концов получим нуль!

Кажется невероятным, но это так. А чтобы в это поверить, можно проделать вышеописанную процедуру, для начала -- с числом "3" (где мы раскладываем тройку как 2¹ + 1, что дает последовательность 4, 3, 4, 2, 1, 0); а затем -- что более важно -- попробовать то же самое с "4" (при этом стартовое разложение в виде 4 = 2² приводит к вполне закономерно возрастающему ряду 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84, ..., который доходит до числа из 121210695-ти знаков, после чего уменьшается вплоть до нуля!).

Это действительно поразительно...

Аноним (Математики) все записи автора

Столько мыслей было после этого...

<strong>Иноходец. Урок Перельмана </strong><br/><br/>

tguglanaklona (Математики) все записи автора Всякие книги кому пригодятся http://www.liveinternet.ru/users/tguglanaklona/

Гимназистка (Математики) все записи автора Первый решила.
Во втором почему-то получается 0 - нужно проверить.
Третье -вероятно напутала с наблой, тоже хотелось бы провериться.
Четвертое пока не могу решить никак.

Kimyona_Shinji (Математики) все записи автора нужно решить задачу:
даны вектора a,b,c
a=6i-8j-8k
|b|=1
c{4; 1; m}
(a^b)=60 гр
найти скалярное произведение векторов а*b

P_ika (Математики) все записи автора
Ноль был изобретен в Индии индийским математиком еще в 5 веке. Ноль широко использовался в расчетах, астрономии и астрологии. Ноль был распространен арабами в Европу, и далее по всему миру. До этого все европейцы использовали римские числительные которыми трудно было рассчитывать, так как они были в виде символов, длинные и имели ограничения. Ноль (нуль) (от лат. Nullus – никакой)

-Женя (Математики) все записи автора

Аноним (Математики) все записи автора Многие подобные зависимости были открыты еще Пифагором. Он вообще страшно интересовался такого рода "играми чисел", ибо полагал, что все в мире происходит сообразно с числом, а потому, раскрывая такие закономерности, мы раскрываем некие тайны мира. Не знаю как насчет тайн, но по-моему, это действительно красивая штука:

glyzina (Математики) все записи автора

зачетная работа из шести задач, эти три никак не одолеть..(
Ребят, помогите,пожалуйста! Благодарна буду.

1. Осевое сечение цилиндра-квадрат, диагональ которого 4 см. Найти S полное.
2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через 2 образующие, угол между которыми 60 градусов.
б) S бок.
3. Диаметр шара=4 м, через конец диаметра проведена плоскость под углом 30 градусов к нему. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

Sikigami_san (Математики) все записи автора

 

Здравствуйте!

Я уже с этим столько мучаюсь может кто нить чем нить сможет помочь?

Хотя бы чем нибудь!=)

(тут только 5-6-7) остальные я как-то сделала)

more

vectra (Математики) все записи автора

Вложение: 3723768_TR_4.doc

vectra (Математики) все записи автора

упростить.

 

 

решить уравнение

 

решить уравнение

 

решить неравенство

 

доказать тригонометрическое тождество

Гимназистка (Математики) все записи автора Люди, теперь и я нид хэлп.
Задачи легкие, но меня клинит.
Проблема со следующими номерами: 8,9,10,11,17,18
Отблагодарю.

Floriano4ka (Математики) все записи автора

Помогите решить, за симпу за анти лав, все что угодно... уравнения решила, а вот с системами и неравенствами ничего не могу понять(( 

Аноним (Математики) все записи автора Математики в Калифорнии обнаружили новое большое простое число из 13 миллионов цифр. Теперь они стали претендентами на премию в 100 тысяч долларов.

Полностью

Аноним (Математики) все записи автора

О проекте

Веб-сервис умеет не только решать большинство типовых задач (по дисциплинам: алгебра, элементарная математика, анализ), но и по шагам объяснять, откуда получилось решение. Есть и дополнительные возможности: построение графиков, словарь математических терминов.

Сайт на аннлийском, но это и к лучшему: меньше наших школьников воспользуются готовыми решениями. А вот их родителям сервис пригодится: чтобы помочь ребёнку с домашним заданием теперь не надо мучительно вспоминать школьную программу.

Читать дальше

http://mathway.com/

Eternity- (Математики) все записи автора помогите вывести формулу нечетных квадратов:
1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = ???
плиииззз...! поставлю хоть симпу хоть нати, хоть лавку, если надо....

Mathanic (Математики) все записи автора )

Svetlana_Grigoryan (Математики) все записи автора Если не трудно, помогите решить пример:

(sin I/¯lnx)’ =

в скобках - синус корня квадратного натурального логарифма от х

katarhi (Математики) все записи автора Люди, кто знает как посчитать корр. коэф. р-спиремена в маталбе? Я понимаю, что с помощью процедуры corr(), но почему-то никак не получается.

Svetlana_Grigoryan (Математики) все записи автора Помогите пожалуйста решить эти два примера по мат. анализу:



            1)      (sin I/¯mx)’ =

            2)      sup    n - 1 =
                                  n
                      n €  N

(В первом примере закорючка после синуса обозначает квадратный корень )

Аноним (Математики) все записи автора

Tags: Игры разума - задачи, загадки, логические игры, головоломки

Аноним (Математики) все записи автора Пифагор с острова Самос был одной из наиболее влиятельных и тем не менее загадочных фигур в математике. Поскольку достоверных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь оказалась окутанной мифами и легендами, и историкам бывает трудно отделить факты от вымысла. Не подлежит сомнению, однако, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа перестали использоваться только для счета и вычислений и были впервые оценены по достоинству. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, которые образуют числа. Пифагор понял, что числа существуют независимо от материального мира, и поэтому на изучении чисел не сказывается неточность наших органов чувств. Это означало, что Пифагор обрел возможность открывать истины, независимые от чьего-либо мнения или предрассудка. Истины более абсолютные, чем любое предыдущее знание.

Пифагор жил в V веке до н.э., свои познания и умения в математике он приобрел, странствуя по Древнему Миру. По некоторым преданиям, Пифагор побывал в Индии и Британии, но, по более достоверным сведениям, он перенял многие математические методы и средства у вавилонян и египтян. И те, и другие древние народы вышли за пределы простого счета и могли выполнять сложные вычисления, позволявшие им создавать тонкие системы учета и возводить сложные здания. Правда, математику они рассматривали лишь как средство решения практических проблем; причиной открытий некоторых основных правил геометрии стала необходимость восстанавливать границы между земельными участками, оказавшимися смытыми при ежегодных разливах Нила. Само слово геометрия означает «землемерие».

====
Чувствуя себя в безопасности в своем новом доме, Пифагор основал пифагорейское братство — группу из шестисот последователей, способных не только понять его учения, но и добавить к ним новые идеи и доказательства. Вступая в братство, каждый последователь Пифагора должен был пожертвовать в общий фонд все свое состояние. Каждый, кто покидал братство, получал сумму вдвое большую, чем первоначальное пожертвование, и в память о нем воздвигалась надгробная плита. Пифагорейское братство было эгалитарной школой, и среди учащихся были не только мужчины, но и несколько женщин. Любимой ученицей Пифагора была дочь Мило — прекрасная Теано. Несмотря на большую разницу в возрасте Пифагор и Теано в конце концов поженились.

Вскоре после основания братства Пифагор придумал слово «философ» и тем самым провозгласил цели школы. Во время Олимпийских игр Леон, правитель Флиуса, спросил Пифагора, как бы тот охарактеризовал себя. Пифагор ответил: «Я философ», но Леону не приходилось прежде слышать этого слова, и он попросил Пифагора объяснить, что оно означает.

«Жизнь, правитель Леон, можно уподобить происходящим сейчас Олимпийским играм: в собравшейся здесь огромной толпе одних привлекает выгода, которую они надеются извлечь, других — надежды и честолюбивые замыслы, они надеются обрести известность и славу. Но есть среди них немного и таких, кто пришел сюда, чтобы увидеть и понять все, что здесь происходит.

То же самое относится и к жизни. Одни обуяны любовью к благосостоянию, другие слепо следуют безумной лихорадочной жажде власти и господства, но лучший из людей посвящает себя познанию смысла и цели самой жизни. Он стремится раскрыть тайны природы. Такого человека я называю философом, ибо хотя ни один человек не может постичь всю мудрость мира, он может любить мудрость как ключ к тайнам природы».

===
Хотя многие знали о намерениях Пифагора, никто за пределами братства не знал, чем именно занимаются Пифагор и его ученики. Каждый член школы приносил торжественную клятву никогда, ни под каким видом, не разглашать посторонним математические открытия братства. Даже после смерти Пифагора один из членов братства был утоплен за то, что он нарушил клятву, — публично заявил об открытии нового правильного тела, додекаэдра, ограниченного двенадцатью правильными пятиугольниками. Множество мифов о странных ритуалах, совершавшихся членами братства, и немногочисленность надежных сведений об их математических достижениях — следствие той доведенной до предела таинственности, которой окружали себя пифагорейцы.

Достоверно известно, что Пифагор установил этос, изменивший ход развития математики. По существу пифагорейское братство было религиозным сообществом, и одним из идолов, которым поклонялись пифагорейцы, было Число. Пифагорейцы полагали, что постигая соотношения между числами, они смогут раскрыть духовные тайны Вселенной и тем самым приблизиться к богам. Особое внимание члены братства уделяли натуральным числам (1, 2, 3, ...) и дробям. Натуральные числа вместе с дробями (отношениями этих чисел) на языке профессиональных математиков принято называть рациональными числами. Среди бесконечного множества чисел пифагорейцы высматривали те, которые имеют особое значение. Среди наиболее значимых для них чисел были так называемые «совершенные» числа.

По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 — избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.

С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 — недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3=6. Следующее совершенное число равно 28, так как

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.

В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число 496, четвертое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,

6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31,
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127.

Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2•2, 8=2•2•2, 16=2•2•2•2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2^n, где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:

22 = 2•2 = 4, делители 1, 2, сумма 3,
23 = 2•2•2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7,
24 = 2•2•2•2 = 16, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,
25 = 2•2•2•2•2 = 32, делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31.

Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:

6 = 2^1•(2^2 – 1),
28 = 2^2•(2^3 – 1),
496 = 2^4•(2^5 – 1),
8128 = 2^6•(2^7 – 1).

Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2^216090•(2^216091 – 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.

Сингх. "Великая теорема Ферма".

http://chudesa.by.ru/FLT.htm

Аноним (Математики) все записи автора Одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» 2 рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Некий арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в подарок брату своему Исаву 220 животных — «двести коз, двадцать козлов». По мнению теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную пару, свидетельствует о любви Иакова к Исаву.

Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, оно свидетельствует о том, что Ферма хорошо знал натуральные числа и любил «играть» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары. Интересно отметить, что Декарт и Эйлер «проглядели» гораздо меньшую пару дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл пару 1184 и 1210.

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел — замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел

(1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920)


делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 общительных чисел, первое из которых равно 14 316.

Хотя открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им трудных задач.

Например, Ферма заметил, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых представляет собой квадрат (25 = 52 = 5•5), а другое — куб (27 = 33 == 3•3•3). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между квадратом и кубом, но найти ничего так и не удалось. Родилось подозрение, что число 26 единственное. После многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное доказательство, не оставлявшее сомнений в том, что 26 — действительно единственное число, заключенное между квадратом и кубом. Предложенная им цепочка логических доводов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не обладает этим свойством.

Ферма сообщил об уникальном свойстве числа 26 математическому сообществу и бросил вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, чтобы справиться с предложенной задачей? Несмотря на простоту формулировки, решение задачи (доказательство утверждения) оказалось чрезвычайно трудным — можно сказать, недружественным по отношению к тем, кто пытался найти его, и Ферма доставляло особое удовольствие подтрунивать над английскими математиками Валлисом и Дигби, которые в конце концов были вынуждены признать свое поражение.

События развивались так, что величайшей «заявкой» Ферма на непреходящую славу оказался еще один вызов, брошенный им всему остальному миру. Но это была случайная задача-головоломка, не предназначавшаяся для публичного обсуждения.
Сингх "Великая иеорема Ферма"