Родился 5 февраля 1928 года в Покровске (ныне - Энгельс Саратовской области).
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1.04.1983).
Доктор искусствоведения (1978).
Отец — Фёдор Фёдорович Муров, актёр, игравший в Саратовском драматическом театре, немец по национальности. Согласно Указу «О переселении немцев, проживающих в районах Поволжья» в августе 1941 семья Муровых была выслана в Сибирь, на станцию Промышленная Кемеровской области. К этому периоду относятся первые музыкальные сочинения Аскольда.
В 1946 году поступил в Новосибирский инженерно-строительный институт, где учился по специальности «Теплогазоснабжение и вентиляция», а с 1948 по 1951 годы — параллельно учился в Новосибирском музыкальном училище (ныне — Новосибирский музыкальный колледж, с 2006 года - имени А. Ф. Мурова) на дирижерско-хоровом отделении. В 1951 году, получив диплом инженера-строителя, уехал по распределению в Сталинск (ныне — Новокузнецк), где до 1958 года проработал в качестве инженера-проектировщика по гражданскому и промышленному строительству. Наряду с основной работой в это время писал музыку к спектаклям, работал концертмейстером. В 1955 году Аскольд Фёдорович решает порвать со своей инженерной специальностью и вновь отправляется в Новосибирск. Но лишь в 1958 году, после третьей попытки, он был зачислен на 2-ой курс Новосибирской консерватории в класс профессора М. А. Гозенпуда.

Ещё в годы учёбы в консерватории его произведения начинают звучать в различных городах страны. В 1960 году на смотре в Москве были исполнены его Второй квартет, фортепианное трио, соната для альта и фортепиано, балетная сюита «Мойдодыр» и вокальные циклы, получившие высокие оценки. Дипломная работа — Первая симфония (1961), была отмечена не только местной, но и столичной прессой. К этому периоду относится и знакомство А. Ф. Мурова с Д. Д. Шостаковичем, с которым его впоследствии связывали дружеские и творческие контакты.

После окончания консерватории вёл большую преподавательскую и общественную работу. C 1965 по 1970 годы он возглавлял Сибирскую организацию СК РСФСР, в 1968—1972 годах был секретарём СК РСФСР и членом правления СК СССР, в 1967—1969 годах — депутатом Новосибирского городского совета.
С 1962 года - преподаватель кафедры композиции НГК имени М. И. Глинки, доцент (1968), профессор (1983), в 1984–1987 годах – заведующий кафедрой композиции.

Во второй половине 1960-х ряд произведений А. Ф. Мурова вызвал резкую критику со стороны властей. После воронежской премьеры его Третьей симфонии (1968) в местной газете появилась «разгромная» статья под названием «О гражданской ответственности художника». Муров обвинялся в формализме, в создании «эксцентрического дивертисмента», служении «кучке гурманов», гражданской безответственности. Статья вызвала резонанс в музыкальных кругах Новосибирска, последовала аналогичная публикация секретаря Новосибирского обкома КПСС. В жизни композитора наступил трудный период, 1 июня 1970 года он оставил пост председателя правления Сибирской организации СК РСФСР. Не считая возможным дальнейшую работу в Новосибирске, он планировал воспользоваться рекомендацией Д. Д. Шостаковича и перейти на работу в Горьковскую государственную консерваторию. Не исключено, что только личная просьба Шостаковича не уезжать из Сибири повлияла на его решение остаться.
Начало 1970-х также ознаменовалось конфликтами А. Ф. Мурова с властями. Созданная в 1971 году «Тобольская симфония» была исполнена в 1973 году с большим успехом у публики, но вызвала «разборку» со стороны партийных властей города.

В 1971—1972 годах вместе с женой — оперной певицей Аллой Фёдоровной Муровой — находился в командировке во Вьетнаме. Целью командировки было создание во Вьетнаме агитбригад. Выбор пал на супругов Муровых, потому что вьетнамцам требовались одновременно и композитор, и педагог по вокалу. Этот год принес массу новых впечатлений, знакомство с вьетнамской музыкой, работу с новыми учениками, а также правительственные награды ДРВ: Орден «За военный подвиг», медаль «За сотрудничество в борьбе с американским империализмом», боевой значок Министерства обороны ДРВ «5 августа».
В 1984 году Муров вновь возглавил Сибирскую организацию Союза композиторов России и находился на этом посту до своей кончины 7 июня 1996 года.

Аскольд Фёдорович Муров — первый сибирский композитор-симфонист, более тридцати лет занимался педагогической деятельностью в Новосибирской консерватории, вырастил целую плеяду композиторов, которые работают в России и за рубежом.

Сочинения:
балет «Мойдодыр» (1960);
музыкальная комедия «Умные вещи» (по С. Маршаку, Новосибирск, 1965);
для солистов, хора и симфонического оркестра — оратория «Бессонница века» (сл. сов. поэтов, 1966), радиодекламаторий «Голоса Революции» (сл. сов. поэтов и драматургов, 1970), «Тобольская симфония» (сл. из исторических документов, псалмов, В. Хлебникова, 1971);
для симфонического оpкестра — симфонии: I (1961), II, симфония-балет (1964), III (1968), IV (Стереофония, 1974), V симфония (1981), cимфония для струнных (1986), cимфония для духовых и ударных (1988), VI симфония (1991), Балетно-симфонические сцены (1961), «Зимушка-зима» (1962), поэма «Ленин в Шушенском» (1969);
для ансамбля скрипачей — «Два впечатления о Вьетнаме» (1974);
для 2 скрипок, альта и виолончели — квартет «Сибирские новеллетты» (1961), Фуга (1962);
Фортепианное трио (1959);
для виолончели и фортепиано — Концертные вариации (1958);
для альта и фортепиано — Соната (1958);
для скрипки и альта — Два каприса (1974);
для фортепиано — Партита (1974);
для клавесина — Две инвенции (1975);
для голоса и фортепиано — циклы «Поэтические образы» (сл. М. Гарцмана, 1958), на сл. И. Бехера (1962), композиция «Десятые годы» (сл. А. Блока, 1975);
хоры, в т. ч. циклы «Из сибирской народной поэзии» (сл. нар., 1963), «Песни села Балмаш» (сл. нар., 1968), кантата «Русские портреты» (сл. А. Плещеева, А. Дельвига, Н. Языкова, Н. Огарева, А. Хомякова, Ф. Тютчева, 1975);
песни на слова советских поэтов;
музыка к драматическим спектаклям и фильмам;
обработки русских и вьетнамских народных песен.

Автор книг «Заколдованный круг» (1989), «Практические советы начинающим композиторам» (1989), «В Лабиринте…» (1993–1995).
ПРИЗЫ И НАГРАДЫ
Государственная премия РСФСР в области музыкального искусства (1990) — за симфонию для струнного оркестра, посвящённую 400-летию Тобольска.