Главное тут, конечно же, тесто. Ну и то, как варить варенички. Бывает, что и вареники из хорошего теста разваливаются.

Итак, замеси тесто так, чтобы оно не было очень упругим. 
Заводи его на очень холодной воде.
Вода, соль и яйцо – идеальные ингредиенты.
Если не хочешь класть в тесто яйцо, потрудись найти муку твердых сортов пшеницы.
Не забывай просеивать муку!
Можно попробовать капнуть в тесто немного масла – оно будет более податливым. 
Долго вымешивай тесто, чтобы не прилипало к рукам, но оставалось эластичным.
Раскатывай тесто правильно. Толщина для сухой начинки – около полутора миллиметра, а для мокрой – почти в полтора раза толще. 
Хорошенько защипывай края вареничков! 
Следи за начинкой: положишь много, вареники точно разлезутся, каким бы суперски вымешанным ни было тесто. Особенно когда начинка очень влажная, типа вишни с сахаром и т.п.
Ну и последнее. При варке наливай много воды, но закладывай вареники небольшими порциями. И не забывай помешивать, как только вода закипит.