1 Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей[1]. Современное определение предмета эконометрики было выработано в уставе Эконометрического общества, которое главными целями назвало использование статистики и математики для развития экономической теории[2]. Теоретическая эконометрика рассматривает статистические свойства оценок и испытаний, в то время как прикладная эконометрика занимается применением эконометрических методов для оценки экономических теорий.
Эконометрический метод складывался в преодолении следующих неприятностей, искажающих результаты применения классических статистических методов:
• асимметричности связей;
• мультиколлинеарности объясняющих переменных;
• закрытости механизма связи между переменными в изолированной регрессии;
• эффекта гетероскедастичности, т. е. отсутствия нормального распределения остатков для регрессионной функции;
• автокорреляции;
• ложной корреляции;
• наличия лагов.
Эконометрическая модель, как правило, основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При всем стремлении к «наилучшему» описанию связей приоритет отдается качественному анализу. Поэтому в качестве этапов эконометрического исследования можно указать:
• постановку проблемы;
• получение данных, анализ их качества;
• спецификацию модели;
• оценку параметров;
• интерпретацию результатов.
3. Линейное уравнение регрессии, коэффициенты модели.
Линейная модель парной регрессии есть: у=а0+а1х+
а1 - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу
а0 - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.
- это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.
В матричной форме модель имеет вид:
Y=XA+ε
Где Y– вектор-столбец размерности (nx1) наблюдаемых значений зависимой переменной; Х– матрица размерности (nx2) наблюдаемых значений факторных признаков. Дополнительный фактор х0 вводится для вычисления свободного члена; А– вектор-столбец размерности (2х1) неизвестных, подлежащих оценке коэффициентов регрессии; ε– вектор-столбец размерности (nх1) ошибок наблюдений
;
Параметры модели находятся с использованием МНК. Подсчитывается сумма квадратов ошибок наблюдений.
4 ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ: СМЫСЛ И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или .
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее пара¬метров а и в.
Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами.
1.
2.
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его вели¬чина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Формально а — значение у при х = 0. Если признак-фактор
не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная
трактовка свободного члена, а не имеет смысла. Параметр, а может
не иметь экономического содержания. Попытки экономически
интерпретировать параметр, а могут привести к абсурду, особенно при а < 0.
Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют разные модификации формулы линейного коэф¬фициента корреляции.
Линейный коэффициент корреляции находится и границах: -1≤.rxy ≤ 1. При этом чем ближе r к 0 тем слабее корреляция и наоборот чем ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость х и у близка к линейной. Если r в точности =1или -1 все точки лежат на одной прямой. Если коэф. регрессии b>0 то 0 ≤.rxy ≤ 1 и наоборот при b<0 -1≤.rxy ≤0. Коэф. корреляции отражает степени линейной зависимости м/у величинами при наличии ярко выраженной зависимости др. вида.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детермина¬ции характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией. Соответствующая величина характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.
5. ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с по¬мощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая ги¬потеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b = 0, и следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.
Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложе¬ние общей суммы квадратов отклонений переменной у от средне го значения у на две части - «объясненную» и «необъясненную»:
- общая сумма квадратов отклонений
- сумма квадратов отклонения объясненная регрессией - остаточная сумма квадратов отклонения.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степе¬ней свободы, т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности nис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число cтепеней свободы должно показать, сколько независимых откло¬нений из п возможных требуется для образования данной суммы квадратов.
Дисперсия на одну степень свободы D.
F-отношения (F-критерий):
Ecли нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором раз¬работаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия — это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным, если о больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: Fфакт > Fтабл Н0 отклоняется.
Если же величина окажется меньше табличной Fфакт ‹, Fтабл , то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Но не отклоняется.
Стандартная ошибка коэффициента регрессии
Для оценки существенности коэффициента регрессии его ве¬личина сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдентa: которое
затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n- 2).
Стандартная ошибка параметра а:
Значимость линейного коэффициента корреляции проверя¬ется на основе величины ошибки коэффициента корреляции тr:
Общая дисперсия признака х:
Коэф. регрессии Его величина показывает ср. изменение результата с изменением фактора на 1 ед.
Ошибка аппроксимации:
6,5. ИНТЕРВАЛЫ ПРОГНОЗА ПО ЛИНЕЙНОМУ УРАВНЕНИЮ РЕГРЕССИИ
Оценка стат. значимости параметров регрессии проводится с помощью t – статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о статистически значимом отличие показателей от 0 a = b = r = 0. Рассчитываются стандартные ошибки параметров a,b, r и фактич. знач. t – критерия Стьюдента.
Определяется стат. значимость параметров.
ta ›Tтабл - a стат. значим
tb ›Tтабл - b стат. значим
Находятся границы доверительных интервалов.
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что параметры a и b находясь в указанных границах не принимают нулевых значений, т.е. не явл.. стат. незначимыми и существенно отличается от 0.
7. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ
Если между экономическими явлениями существуют нели¬нейные соотношения, то они выражаются с помощью соответ¬ствующих нелинейных функций: например, равносторонней ги¬перболы , параболы второй степени и д.р.
Различают два класса нелинейных регрессий:
• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым па¬раметрам;
• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объ¬ясняющим переменным могут служить следующие функции:
• полиномы разных степеней
• равносторонняя гипербола
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от¬носятся функции:
• степенная
• показательная
экспоненциальная
8,9 ПРИМЕНЕНИЕ МНК К МОДЕЛЯМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВКЛЮЧАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ.
Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяет¬ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо¬ле второй степени y=a0+a1x+a2x2+ε заменяя переменные x=x1,x2=x2, получим двухфакторное урав¬нение линейной регрессии: у=а0+а1х1+а2х2+ ε
Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется харак¬тер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака: приравнива¬ем к нулю первую производную параболы второй степени: , т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c
Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:
Решение ее возможно методом определителей:
В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразо¬ванным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нели¬нейных по переменным, при оценке параметров исходят из кри¬терия min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным дан¬ным результативного признака, а к их преобразованным величи¬нам, т. е.ln y, 1/y. Так, в степенной функции МНК применяется к преобразованному уравнению lny = lnα + β ln x ln ε. Это значит, что оценка параметров основывается на миними¬зации суммы квадратов отклонений в логарифмах. Соответственно если в линейных моделях то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, . Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.
10 № 10 ПОКАЗАТЕЛИ КОРРЕЛЯЦИИ
1. индекс корреляции (R):
Величина данного показателя находится в границах: 0 ≤ R ≤ 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых призна¬ков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.
2. индекс детерминации используется для проверки существенности в целом ур-ия нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:
, где R2- индекс детерминации, n- число наблюдений, m – число параметров при переменной х.
11 МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. ОТБОР ФАКТОРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИИ МОДЕЛИ.
Регрессия может дать хороший результат при модели¬ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономи¬ческих переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обес¬печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно¬го исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. пост¬роить уравнение множественной регрессии: y=a+b1x1+b2+…+bpxp+e; Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj — частные производные потребления у по соответствующим факторам xi: , в предположении, что все остальные хi постоянны. В 30-е гг. XX в. Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительской функции. С того времени исследователи неод¬нократно обращались к проблеме ее совершенствования. Совре¬менная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: C=j(y,P,M,Z), где С — потребление; у — доход; Р — цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z — ликвидные активы. При этом .. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор фак¬торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необхо¬димо включить в модель качественный фактор, не имеющий ко¬личественного измерения, то ему нужно придать количествен¬ную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда Ryx1 Rx1x2.Для зависимости y=a+b1x1+b2+…+bpxp+e может привести к нежелательным последствиям, повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретированными.
Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показа¬тель детерминации R2 , который фиксирует долю объясненной ва¬риации результативного признака за счет рассматриваемых в ре¬грессии р-факторов. Влияние других не учтенных в модели фак¬торов оценивается как 1 - R2 с соответствующей остаточной дис¬персией S2.При дополнительном включении в регрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться: . Насыщение модели лишними факторами не только не снижа¬ет величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.
Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качест¬венного теоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в две стадии: на первой подби¬раются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии. Коэффициенты интеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Ес¬ли факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочте¬ние при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множест¬венной регрессии как метода исследования комплексного воз¬действия факторов в условиях их независимости друг от друга. Наибольшие труд¬ности в использовании аппарата множественной регрессии воз¬никают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимос¬тью. Наличие мультиколлинеарности факторов может озна¬чать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полно¬стью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого факто¬ра в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежела¬тельно в силу следующих последствий:1.затрудняется интерпретация параметров множественной ре¬грессии как характеристик действия факторов в «чистом» ви¬де, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;2оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стан¬дартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде¬ний. Для оценки мультиколлинеарности факторов может исполь¬зоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреля¬ции между факторами.
Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей. Для включающего три объ¬ясняющих переменных уравнения: y=a+b1x1+b2+b3x3+e.Матрица коэф-в корреляции м/у факторами имела бы определитель равный 1. Det =1, т.к. rx1x1=rx2x2=1 и rx1x2=rx1x3=rx2x3=0. Если м/у факторами сущ-ет полная линейная зависимость и все коэф-ты корреляции =1, то определитель такой матрицы =0. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной кор¬реляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
12.Уравнение линейной множественной регрессии, нахождение к-тов модели.
Линейная модель множественной регрессии. У=а0+а1х1+ а2х2+…+ аmхm+e
Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.
Для этого проведем все рассуждения в матричной форме. Введем следующие матричные обозначения:
;
где У вектор n значений результативного показателя.
Х – матрица n значений m независимых переменных; а матрица параметров
У=Х∙а+ε.
Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.
Итак, метод наименьших квадратов требует мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений
,
Далее:
Из матричной алгебры известно, что , тогда:
1 – это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр при трансформировании не меняется, поэтому
Согласно условию экстремума S по а =0
;
2ХТY+2aXTX=0
XTY=aXTX
Для погашения а умножим обе части этого уравнения на (ХТХ)-1, тогда
а= (XTХ)-1∙XTY
Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и столбцы матрицы Х линейно независимы.
13 множественная корреляция и частичная корреляция
Эк явления как правило определяются большими числами одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим возникает задача исследования зависимости одной (или нескольких) переменных у от совокупности переменных (х1 х2 … хm). В таком случае для измерения тесноты связи м\у У и факторными признаками хj (j =1 … n) используют множественных коэффициент корреляции.
Для этого используют матрицу парных коэффициентов корреляции м\у всеми рассматриваемыми переменными.
По этой матрице вычисляется множественный коэффициент корреляции, отражающий тесноту связи м/у Y и всеми остальными факторами.
, где R – алгебраические дополнения к соответствующим коэффициентам.
Частный коэффициент корреляции устанавливается зависимость м\у j-ым и k-ым фактором при исключении остальных.
14 НАЗНАЧЕНИЕ ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. Ранжирование факторов, участву¬ющих во множественной линейной регрессии, может быть прове¬дено через стандартизованные коэффициенты регрессии, с помо¬щью частных коэффициентов корреляции — для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включе¬ния того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характери¬зуют тесноту связи между результатом и соответствующим фак¬тором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.
Показатели частной корреляции представляют собой отно¬шение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнитель¬ного включения в анализ нового фактора к остаточной диспер¬сии, имевшей место до введения его в модель.
Частные коэффициенты корреляции измеряющие влияние на у фактора хi при неизменном уровне др. факторов можно определить по формуле:
;
При двух факторах и i=1 данная формула примет вид:
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.
15/16. ЧАСТНЫЙ F-КРИТЕРИЙ, ЕГО ОТЛИЧИЕ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО F-КРИТЕРИЯ, СВЯЗЬ МЕЖДУ СОБОЙ t- КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЗНАЧИМОСТИ bi И ЧАСТНЫМ F-КРИТЕРИЕМ.
Ввиду корреляции м/у факторами значимость одного и того же фактора м/б различной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частый F-критерий, т.е. Fxi. В общем виде для фактора xi частый F-критерий определяется как :
Если рас¬сматривается уравнение y=a+b1x1+b2+b3x3+e, то определяются последовательно F-критерий для уравнения с од¬ним фактором х1, далее F-критерий для дополнительного включе¬ния в модель фактора х2, т. е. для перехода от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3, т. е. дается оценка значимости фактора х3 после включения в модель факто¬ров x1 их2. В этом случае F-критерий для дополнительного вклю¬чения фактора х2 после х1 является последовательным в отличие от F-критерия для дополнительного включения в модель фактора х3, который является частным F-критерием, ибо оценивает значи¬мость фактора в предположении, что он включен в модель по¬следним. С t-критерием Стьюдента связан именно частный F-критерий. Последовательный F-критерий может интересовать исследователя на стадии формирования модели. Для уравнения y=a+b1x1+b2+b3x3+e оценка значимости коэффициентов регрессии Ь1,Ь2,,b3 предпола¬гает расчет трех межфакторных коэффициентов детерминации, а именно: , , и можно убедиться, что существует связь между собой t- критерия Стьюдента для оценки значимости bi и частным F-критерием:
На основе соотношения bi и получим:
19,20 ПРЕДПОСЫЛКИ МНК.
При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей , которая представляет собой ненаблюдаемую величину.
Исследования остатков - предполагают проверку наличия сле¬дующих пяти предпосылок МНК:1.случайный характер остатков; 2.нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;
3.гомоскедастичность—дисперсия каждого отклонения ,одинакова для всех значений х; 4.отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков , распределены независимо друг от друга; 5.остатки подчиняются нормальному распределению.
1. Проверяется случайный характер остатков , с этой целью строится график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки , представляют собой случайные величины и МНК оправдан, те¬оретические значения ух хорошо аппроксимируют фактические значения y. В других случаях необходимо либо применять дру¬гую функцию, либо вводить дополнительную информацию и за¬ново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки , не будут случайными величинами.
2. Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней ве¬личины остатков означает, что (у — ух) = 0. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно вклю¬чаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков от теоретических значений ре¬зультативного признака ух строится график зависимости случай¬ных остатков от факторов, включенных в регрессию хi . Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличие зависимости и хj то модель неадек¬ватна. Причины неадекватности могут быть разные.
3. В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, что¬бы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора xj остатки , имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции. Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остат¬ков - одинакова для каждого значения х.
4.Отсутствие автокор¬реляции остатков, т. е. значения остатков распределены неза¬висимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива¬ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре¬грессии
21 СМЫСЛ ОБОБЩЕННОГО МНК.
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреля¬ции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом. Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Обобщенный МНК для корректировки гетерос-ти. В общем виде для уравнения yi=a+bxi+ei при где Ki – коэф-т пропор-ти. Модель примет вид: yi= + xi+ ei . В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафик¬сированные в ходе i-го наблюдения на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной. От регрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных: y/ и х/ . Уравнение регрессии примет вид: . По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешен¬ную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами . Коэф-т регрессии b можно определить как Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Модель примет вид: . Модель с преобразованными переменными составит
. Это уравнение не содер-т свобод-го члена, применяя обычный МНК получим: Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к то¬му, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменны¬ми.
23. 25,26 СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ.
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных уравнений. Различают несколько видов систем уравнений: 1. Система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:
y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1
yn=an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en
Для решения этой системы и нахождения ее параметров
используется МНК.
2.Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:
y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1
y2=b21*y1+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2
y3=b31*y1+b32*y2+a31*x1+a32*x2+…+a3m*xm+e3
yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnk-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется МНК.
3 Система взаимосвязанных уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую.
y1=b12*y2+b13*y3+…+b1n*yn+a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1
y2=b21*y1+b23*y3+…+b2n*yn+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2
yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnk-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en
Такая система уравнений называется структурной формой модели. Эндогенные переменные – взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у. Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х. Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели. Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели. где - коэффициенты приведенной формы модели.
Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:
D+1=H –уравнение идентифицируемо;
D+1
H – уравнение сверхидентифицируемо.
Где Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации- определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении на равен нулю и ранг этой матрицы не менее эндогенных переменных без единицы. Для решения идентифицируемого уравнения применяется КМНК, для решения сверхидентифицируемых - двухшаговый МНК.
27 Оценивание параметров структурной модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)
• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)
• трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК)
• метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММП)
• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП)
Косвенный и Двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов применяется для идетифицируемой системы одновременных уравнений, двухшаговый метод наименьших квадратов - для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.
Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения) разработанный в 1949 г. Т. Андерсеном и Н. Рубинным. Математическое описание метода дано, например, в работе Дж. Джонстона. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. несмотря на его популярность, к середине 1960-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов в связи с гораздо большей простотой последнего. Этому способствовала также разработка в 1961 г. Г. Тейлом семейства оценок коэффициентов структурной модели. Для данной модели Г. Тейл определил семейство оценок класса К и обычный МНК при К = 0, ДМНК при К = 1 и метод ограниченной информации при plimK = 1. В последнем случае решение структурной модели соответствует оценкам по ДМНК.
Дальнейшим развитием двухшагового метода наименьших квадратов является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный в 1962 г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК.
28 КМНК. Применяется в случае точно идентифицируемой модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов: 1. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения обычным МНК. 2. путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифи¬цируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной
и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при опре¬делении структурных коэффициентов модели по данным теоре¬тических (расчетных) значений эндогенных переменных.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
• все уравнения системы сверхидентифицируемы;
• система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно
идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения исполь¬зуется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой
модели:
Данная модель может быть получена из предыдущей иденти¬фицируемой модели:
если наложить ограничения на ее параметры, а именно: b12 =a11
В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым: Н=1 (у1),
D=1(х2) и D+1 > Н. Второе уравнение не изме¬нилось и является точно идентифицируемым: Н = 2 и D=1
На первом шаге найдем приведенную форму модели, а
именно:
ДМНК является наиболее общим и широко распространен¬ным методом решения системы одновременных уравнений.
Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи, применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике. В частности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.
29 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА.
Временной ряд — это совокупность значений какого-либо по¬казателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
• факторы, формирующие тенденцию ряда;
• факторы, формирующие циклические колебания ряда;
• случайные факторы.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство времен¬ных рядов экономических показателей имеют тенденцию, харак¬теризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправ¬ленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в сово¬купности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Рис1
Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезон¬ный характер, поскольку экономическая деятельность ряда от¬раслей экономики зависит от времени года рис2 Некоторые временные ряды не содержат тенденции и цикли¬ческой компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Рис3
В большинстве случаев фактический уровень временного ря¬да можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре¬менной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в ко¬торой временной ряд представлен как произведение перечислен¬ных компонент, называется мультипликативной моделью времен¬ного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда — выявление и придание количествен¬ного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно¬зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.
30 АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Корреляционную зависимость между последова¬тельными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного ко¬эффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид:
можно определить коэффициенты автокорреля¬ции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент авто¬корреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями уt и yt-1 и определяется по формуле:
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре¬ляции, уменьшается.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уров¬нях ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уров¬ней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляцион¬ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага на¬зывается коррелограммой.
33 .АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ В ОСТАТКАХ. КРИТЕРИЙ ДАРБИНА-УОТСОНА.
Существуют два наиболее распространенных метода опреде¬ления автокорреляции остатков. Первый метод — это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод — использо¬вание критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины
(1)
Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадра¬тов по модели регрессии. Можно предположить что: , предположим также
Коэффициент автокорреляции остатков оп¬ределяется как
С учетом (3) имеем:
Таким образом, если в остатках существует полная положи¬тельная автокорреляция и , то d= 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, d= 4.Если автокорреляция остатков отсутствует, то и d = 2. Следовательно, 0≤d≤4
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина — Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные ги¬потезы Н1 Н1* состоят, соответственно, в наличии положитель¬ной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по спе¬циальным таблицам определяются критичес¬кие значения критерия Дарбина — Уотсона dl и du для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели к и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Если фактическое значение критерия Дарбина — Уотсона по¬падает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Hо.
34 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ. ИНТЕРПРИТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ.
Величину L, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один ил более моментов времени, — лаговыми переменными.
Эконометрическое моделирование осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида
является примером модели с распределенным лагом.
Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида
относится к моделям авторегрессии. Построение моделей с распределенным лагом и моделей ав¬торегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка парамет¬ров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует спе¬циальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии су¬ществует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необ¬ходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому. Интерпретация параметров моделей с распределительным лагом. Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:
Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент вре¬мени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.
Коэффициент регрессии b0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение уt при изменении хt на 1 ед. свое¬го измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффици¬ент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент (t+1) совокупное воздействие факторной перемен¬ной xt на результат уt , составит (b0 + b1) усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b0+b1+b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.
Введем следующее обозначение:
b0 +b1 +…+bl =b
Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он по¬казывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l ре¬зультата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.
Предположим
ßj =bj /b, j=0:1
Назовем полученные величины относительными коэффициен¬тами модели с распределенным лагом. Сред¬ний лаг определяется по формуле средней арифметической взве¬шенной: и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании резуль¬тата на изменение фактора, тогда как высокое его значение гово¬рит о том, что воздействие фактора на результат будет сказывать¬ся в течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого
Это тот период времени, в течение которого с момента време¬ни t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
35 тест Чоу Статистический тест, позволяющий оценить значимость улучшения регрессионной модели после разделения исходной выборки на части. Одним из ограничений линейной регрессии является то, что для различных интервалов значений независимой переменной характер ее связи с выходной переменной может меняться. Например, с увеличением возраста клиента его кредитный рейтинг может возрастать, но до определенного порога (например 50–55 лет) после которого люди начинают чаще болеть, им сложнее найти работу и т.д. Они становятся менее привлекательны для банка в качестве заемщиков и для них имеет место обратная тенденция.
Очевидно, что любая модель, которая аппроксимирует такую закономерность единственной линейной зависимостью, вряд ли будет точной. Выходом из ситуации является разделение диапазона значений входной переменной на два, в пределах каждого из которых зависимость между ней и выходной переменной монотонна. Затем для каждого из полученных интервалов строится свое уравнение регрессии. Возникает вопрос: как разделить исходное множество так, чтобы обеспечить лучшую аппроксимацию? Для этого обычно строят множество разбиений, для каждого определяют значимость улучшения модели и выбирают то из них, для которого она максимальна. Для ее оценки и используется тест Чоу, который использует статистику:
где S – сумма квадратов остатков линейной регрессии целой модели, S1 – сумма квадратов остатков модели, построенной для первого подмножества, S2 - сумма квадратов остатков модели, построенной для второго подмножества, n – общее число наблюдений выборки. Полученная статистика подчиняется F-распределению Фишера с k+1 и n-2k+1 степенями свободы и используется для оценки значимости улучшения модели при разделении выборки на две части.
36 МЕТОД ПОДВИЖНОГО (СКОЛЬЗЯЩЕГО) СРЕДНЕГО.
Метод простого скользящего ср. состоит в том, что расчет показателя на прогнозируемый момент времени строится путем усреднения значения этого показателя за несколько предшествующих моментов времени.
где хk-i – реальное знач. показателя в момент времени tn-1.
n- число предшествующих моментов времени использующих при расчете.
fk – прогноз на момент времени tk.
37 МОДЕЛИ АВТОРЕГРЕССИИ. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕГРЕССИИ.
Модели содержащие в качестве факторов лаговые знач. зависимой переменной называются моделями авторегрессии. Н-р yt=a+b0xt+c1w-1+ εt. Как и в модели с распределенным лагом b0 и в этой модели характеризует краткосрочные изменения yt под воздействием изменения х1 на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов b = b0+b0 c1+b0 c12+b0 c13+…=b0(1+c1+c12+c13+…)=b0/1-c1
Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличие бесконечного лага в воздействии текущего знач. зависимой переменной на ее будущее знач.
Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить перемен¬ную из правой части модели, для которой нарушаются предпо¬сылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Примени¬тельно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную yt-1. Искомая новая переменная, кото¬рая будет введена в модель вместо yt-1ь должна иметь два свойст¬ва. Во-первых, она должна тесно коррелировать с yt-1ь во-вторых, она не должна коррелировать с остатками ur.
Еще один метод, который можно применять для оценки пара¬метров моделей авторегрессии типа — это метод максималь¬ного правдоподобия
38 Модели ARMA Представление процесса типа МА в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения его параметризации. Аналогично процесс AR не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому для получения экономичной параметризации иногда бывает целесообразно включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такие линейные процессы
имеют вид
и называются процессами авторегрессии − скользящего среднего порядка (p, q)(ARMA(p, q)).
Стационарность и обратимость ARMA(p, q)-процессов.
Записывая процесс (1.76) в виде
где
можно провести анализ стационарности (8) по той же схеме, что и для AR(p)-процессов. При этом различие “остатков” qt δ и δе никак не повлияет на выводы, определяющие условия стационарности процесса авторегрессии. Поэтому процесс (1.74) является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения AR(p)-процесса лежат вне единичного круга.
17 (Теорема Гаусса-Маркова).
Если есть ФДО, а - любое решение системы нормальных уравнений, то (которое называется оценкой МНК для ) не зависит от выбора и имеет наименьшую дисперсию среди всех линейных по y несмещенных оценок .
22
При проведении проверки по этому критерию предполагается, что стандартное отклонение распределения вероятностей u пропорционально значению х в этом наблюдении Предполагается также, что случайный член распределен нормально и не подвержен автокорреляции.
Иными словами тест Голдфелда- Квандта - тест на гетероскедастичность, устанавливающий, что стандартное отклонение остаточного члена регрессии растет, когда растет объясняющая переменная
Таким образом, тест Голдфелда-Квандта состоит из трех этапов:
1)все наблюдения в выборке упорядочиваются по возрастанию х.
2)берутся первые и последние n наблюдений (треть от всех), оцениваются две различные регрессии и находятся RSS1 и RSS2
3)Для отношения RSS2/RSS1, проводят тест Фишера с (n’ - k - 1) верхними и (n’ - k - 1) нижними степенями свободы, где k - количество объясняющих переменных в регрессиях
Коффицент спирмена Он оценивает, насколько хорошо взаимосвязь между двумя переменными может быть описана с помощью монотонных функций
Коэффициент Ранговой Корреляции Спирмена-тест непараметрической статистики, используемый для порядковых данных) , когда необходимо измерить корреляцию двух переменных. Для оценки степени корреляции применяется процедура ранжирования. Если выстраивается гипотеза о том, что коэффициенты самоубийства в различных странах изменяются в соответствии с уровнем посещаемости церкви, первый показатель помещается в ранговом порядке в одной колонке, а второй — в другой. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле, построенной на разнице между ранжированиями.
31
Временной ряд – это совокупность значений какого – либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Автокорреляция уровней ряда – корреляционная зависимость между
последовательными уровнями временного ряда.
Лаг – число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции.
Свойства коэффициента автокорреляции:
ü Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.
ü По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о
возрастающем или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициента автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного порядка. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой. Аналитическое выравнивание временного ряда – это построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда.
Кусочно-линейные модели регрессии – разделение исходной совокупности на две подсовокупности (до времени t* и после момента t*) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка(t=1), исследуемый ряд содержит только тенденцию.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка (t=2), ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать следующие предположения:
ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
