Греко-латинский квадрат в УЛИПО

Еще одной областью приложения математики к литературным текстам являются греко-латинские квадраты. Эти исследования начинали в УЛИПО Жак Рубо и Жорж Перек.
Комбинаторика интересовалась греко-латинскими квадратами начиная с Эйлера, который определил греко-латинский квадрат порядка n как таблицу N * N с n различными буквами греческого алфавита и n различными буквами латинского, чтобы каждая греческая буква встречалась только раз в каждой строке и в каждом столбце, и каждая латинская буква встречалась только раз в каждой строке и в каждом столбце. При этом каждая латинская буква появляется один и только один раз в паре с каждой греческой буквой. Распространенный пример греколатинского квадрата четвертого порядка представляет собой таблицу из карт: тузов, королей, дам и валетов четырех мастей, расположенных так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились карты всех четырех мастей и всех четырех значений.
Во времена Эйлера были известны греко-латинские квадраты третьего, четвертого и пятого порядка (относительно второго является очевидным, что его не существует), Эйлер показал, что такой квадрат возможен для n – нечетного или «четно-четного», т.е. делящегося на четыре, и высказал предположение, что для n – «четно-нечетного», т.е. не делящегося на четыре, как 6, 10, 14… таких квадратов не существует. И до 1959 года теорема Эйлера, не будучи доказанной, считалась, тем не менее верной, пока в апреле 1959 года на заседании Американского математического общества Э.Т.Паркер, Р.К.Боус и С.С.Шрикхенд не доложили о том, что им удалось найти греко-латинский квадрат десятого порядка и тем самым опровергнуть гипотезу Эйлера. Заметим, что для доказательства математики пользовались не перебором (как это было осуществлено для шестого порядка), а оригинальными математическими идеями (возможности перебора всех квадратов десятого порядка был в 1959 году за пределами возможностей электронно-вычислительных машин). Вскоре этими же математиками было доказано, что гипотеза Эйлера неверна для всех «четно-нечетных» n и обнаружены сотни новых греко-латинских квадратов десятого порядка.
Однако на момент заседания УЛИПО был найден только один-единственный греко-латинский квадрат десятого порядка, и факт его обнаружения настолько потряс всех математиков, в том числе и математиков, входящих в УЛИПО, что они немедленно применили его к литературе.
Улиписты предложили в строках квадрата расположить рассказываемые истории, в столбцах – персонажей (как то мсье Демэйзон, Поль, мадам Демэйзон, граф Белерваль, Архимед, Красная рыба, Судьба, Валерия, Дон Диего, мсье Мэмбр), латинские буквы будут определять их характер (А – страстно влюбленный, B – набитый дурак, C – каналья, греческие буквы (или просто цифры) – основные их действия (0 – не делает ничего, 1 – вор и убийца, 2 – ведет себя странным и необъяснимым образом…).
Ж.Переку принадлежит роман «Жизнь. Способ употребления», в основу которого положен греко-латинский квадрат десятого порядка, обозначающий сто комнат отеля, которые по ходу сюжета обходят «ходом коня»
Этот роман, как поясняет автор, родился из трех независимых набросков – идеи о романе в форме билатинского квадрата; рисунка фасада парижского дома; головоломки-паззла, представляющего порт де ля Рошель. Объединение этих трех отправных точек случилось неожиданно, когда Ж.Перек рассматривал отражение рисунка дома в бокале, и схема билатинского квадрата неожиданно совпала с ним, каждая комната строения стала квадратиком и главой книги, перестановки, порожденные схемой, определили составные элементы каждой главы – мебель, обстановку, персонажей, географические и исторические отсылки, литературные аллюзии, цитаты… В «Жизни способе употребления» присутствует двадцать одна перестановка двух серий (сорок две темы) из десяти элементов, которые также будут переставляться и определяться элементами, составленными в каждой главе. Далее автор еще более усложняет конструкцию – не желая описывать комнату за комнатой, и этаж за этажом, он решает пройти их «ходом коня», не пропустив ни одной комнаты и побывав в каждой ровно по одному разу.
Сюжет романа – рассказ о жизни Персеваля Бартлебуса, живущего в этом здании. В течение десяти лет он изучает акварель, в течение следующих 20 лет странствует по миру, делая рисунки различных морских портов. Рисунки он посылает другому жильцу отеля, Гаспару Винклеру, который разрезает каждую картину на 750 частей как паззл. Вернувшись, Бартлебус проводит следующие двадцать лет, собирая паззлы. Каждый собранный паззл затем окунается в раствор, который полностью стирает его. Бартлебус умирает, когда он почти собирает свой 439 паззл, держа в руке кусочек, похожий на W, в то время как единственное отверстие на паззле имеет форму Х.
В тексте множество математических развлечений, шахматных задач, игры слов, скрытого цитирования. В тексте множество математических развлечений, шахматных задач, игры слов, скрытого цитирования. Так, в LIX главе зашифрованы фамилии улипистов.

---

Цитата сообщения Jyj   http://www.liveinternet.ru/users/jyj/post133255500/

 

---

Фе́ликс Хаусдо́рф (нем. Felix Hausdorff; 8 ноября 1868, Бреслау — 26 января 1942, Бонн) — немецкий математик, считается одним из основоположников современной топологии.
Ввел и впервые исследовал важные в топологии понятия хаусдорфова пространства (1914), топологического предела, частично упорядоченного множества, а также хаусдорфовой размерности (1919). Также Хаусдорф внёс большой вклад в теорию множеств, функциональный анализ, теорию топологических групп и теорию чисел. Выступал также как писатель под псевдонимом Поль Монгре (Paul Mongré).
Окончил Лейпцигский университет (1891). Стал профессором этого университета, позже был профессором университетов в Грейфсвальде и Бонне. В 1935 году был отстранен от преподавательской деятельности как еврей (что было оформлено как отставка в звании почетного профессора). В 1942, когда отправка его и его семьи в гитлеровский концлагерь стала неизбежной, вместе с женой и её сестрой покончил жизнь самоубийством, приняв смертельную дозу барбитала.

Парадокс удвоения шара

Трёхмерный шар можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них два таких же шара. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.



Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объем которых равен объему исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объем. Суть парадокса заключается в том, что в трехмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объема, если под объемом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности, и предполагаем, что объемы двух конгруэнтных множеств совпадают. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике). Для плоского круга аналогичная теорема неверна. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено как конечно-аддитивная мера на все ограниченные множества и инвариантна относительно движений, в частности, любое множество равносоставленное кругу имеет ту же площадь. Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и Парадокс Банаха — Тарского даёт этому убийственно наглядную иллюстрацию. Тем не менее, некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число кусков и составить из них квадрат равной площади.

Евангелие от Иоанна. Глава 6

Пять хлебов было поделено в строгом соответствии с парадоксом Банаха-Тарского

6.1 После сего пошел Иисус на ту сторону моря Галилейского, в окрестности Тивериады.
6.2 За Ним последовало множество народа, потому что видели чудеса, которые Он творил над больными.
6.3 Иисус взошел на гору и там сидел с учениками Своими.
6.4 Приближалась же Пасха, праздник Иудейский.
6.5 Иисус, возведя очи и увидев, что множество народа идет к Нему, говорит Филиппу: где нам купить хлебов, чтобы их накормить?
6.6 Говорил же это, испытывая его; ибо Сам знал, что хотел сделать.
6.7 Филипп отвечал Ему: им на двести динариев не довольно будет хлеба, чтобы каждому из них досталось хотя понемногу.
6.8 Один из учеников Его, Андрей, брат Симона Петра, говорит Ему:
6.9 здесь есть у одного мальчика пять хлебов ячменных и две рыбки; но что это для такого множества?
6.10 Иисус сказал: велите им возлечь. Было же на том месте много травы. Итак возлегло людей числом около пяти тысяч.
6.11 Иисус, взяв хлебы и воздав благодарение, роздал ученикам, а ученики возлежавшим, также и рыбы, сколько кто хотел.
6.12 И когда насытились, то сказал ученикам Своим: соберите оставшиеся куски, чтобы ничего не пропало.
6.13 И собрали, и наполнили двенадцать коробов кусками от пяти ячменных хлебов, оставшимися у тех, которые ели.
6.14 Тогда люди, видевшие чудо, сотворенное Иисусом, сказали: это истинно Тот Пророк, Которому должно прийти в мир.

Подробно о парадоксе

Парадокс или софизм

Википедия определяет парадокс как ситуацию, которая может существовать в реальности, но не иметь логического объяснения.

Математический парадокс можно определить как истину, причём настолько противоречащую нашему жизненному опыту, интуиции и что самое главное - здравому смыслу (мы как истина в последней инстанции), что в неё трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все её доказательство. После чего следуют слова: «Такого не может быть никогда, потому что такого просто быть не может!». Хотя определили парадокс как истину. Т.е. такой истины быть не может.
В отличии от парадокса, софизм, это уже не истина, хотя при первом, поверхностном рассмотрении некого умозаключения выводы выглядят парадоксально. В софистических умозаключениях всегда скрыто ложное. Поэтому, всякое новое утверждение, парадоксальное на первый взгляд можно опровергнуть детально разобравшись во всей цепочке умозаключений.
Ниже приведу примеры софизмов и парадоксов, которые мне доступны и буду благодарен читателям моего дневника если дополните своими примерами. Приглашаю так же принять участие в обсуждении этих примеров с целью разобраться где парадокс, а где софизм.

Альфред Тарский (польск. Alfred Tarski; 14 января 1901, Варшава — 26 октября 1983, Беркли, Калифорния) — выдающийся польско-американский математик, логик, основатель формальной теории истинности.

Жизнь

Альфред Тарский — урожденный Альфред Тайтельбаум — родился в обеспеченной семье польских евреев. Склонность к математике впервые проявилась в школе, однако в 1918 году он поступил в Варшавский университет с намерением изучать биологию.
В тот год Польша, остававшаяся до того под властью Российской империи, становится независимым государством, и Варшавский университет приобретает столичный статус.

Представленный Яном Лукасевичем, Станиславом Лесневским и Вацлавом Серпинским, университет быстро выходит в мировые лидеры по логике, основаниям математики, философии математики. Математический талант Тарского был открыт Лесневским, который отговорил молодого Альфреда от биологии в пользу математики. Позднее под его руководством Тарский пишет диссертацию, и в 1924 году получает степень доктора философии. При этом он становится самым молодым доктором за историю Варшавского университета. В 1923 Альфред вместе со своим братом Вацлавом меняют фамилию на "Тарский". Эта фамилия была выбрана, потому что была простой, не очень распространённой и звучала по-польски. Тарский старался не афишировать своё еврейское происхождение, так как идентифицировал себя как поляк, и стремился быть воспринятым таковым. После защиты диссертации Тарский остаётся работать преподавателем в университете, ассистируя Лесневскому. За это время он публикует серию работ по логике и теории множеств, принёсших ему мировую известность. В 1929 Тарский женится на Марии Витковской, с которой у них рождается двое детей: Ина и Ян. В августе 1939 он отбывает в США для участия в научном конгрессе, по счастливой случайности как раз незадолго до вторжения германских войск в Польшу. Это обстоятельство, очевидно, спасло ему жизнь — за время войны почти все члены его семьи, оставшиеся в Польше, погибли от рук нацистов. Не имея иного выбора, кроме как остаться в Соединённых Штатах, Тарский временно устраивается в Гарвардский Университет, затем меняет ещё несколько мест работы в различных университетах Америки, пока не получает наконец в 1948 профессорскую вакансию в Беркли, где он остаётся работать до самой смерти. Здесь он создаёт свою знаменитую школу и заслуживает среди учеников репутацию строгого и очень требовательного руководителя.

Вклад в математику

Тарскому принадлежит целый ряд результатов относительно разрешимости и неразрешимости формальных теорий в логике первого порядка. Его наиболее известными позитивными результатами в этом направлении являются теоремы о разрешимости действительной линейной арифметики а также евклидовой геометрии. В первом случае им был разработан и успешно применён метод элиминации кванторов, который стал одним из основных методов доказательства разрешимости теорий первого порядка. Во втором случае Тарскому также пришлось разработать собственную аксиоматизацию евклидовой геометрии, которая оказалась более удачной раннее известной аксиоматизации Гильберта. Негативные результаты по разрешимости были суммированы в 1953 в работе Неразрешимые теории, где среди прочего была показана неразрешимость теории решёток, проективной геометрии и теории алгебр с замыканием.
Большое влияние оказали работы Тарского в теории множеств. Одним из его первых результатов в этой области был открытый 1924 году совместно с Банахом Парадокс Банаха — Тарского. Парадокс по сути своей сводился к следующему: из шара в евклидовом пространстве можно путём операций разрезания и склейки получить два шара, по объёму равных исходному. Объяснение парадокса состоит в том, что понятие объёма не может может быть адекватно истолковано для произвольных множеств, а именно такие "множества без объёма" временно возникали в процессе построения. Парадокс имел большое значение для развития теории меры.

Школа Тарского и влияние в науке

За свою жизнь Тарский подготовил в общей сложности 24 студента, которые защитили степень доктора философии под его руководством. Среди них такие известные имена как Андрей Мостовский, Юлия Робинсон, Соломон Феферман, Ричард Монтегю, Роберт Воут а также авторы знаменитой Теории Моделей Джером Кейслер и Чен-Чунь Чен. Кроме своих непосредственных студентов Тарский поддерживал контакты со многими другими учёными, и оказывал существенное влияние на их деятельность. Среди таких Альфред Линденбаум, Дана Скотт, Леонард Гиллман.

Стефан Банах (польск. Stefan Banach, укр. Степан Степанович Банах, 30 марта 1892, Краков — 31 августа 1945, Львов) — польский математик, профессор Львовского университета (1924), декан физико-математического факультета этого университета (1939).
Член Польской АН и член-корреспондент АН УССР. Один из создателей современного функционального анализа и львовской математической школы.
Родился в семье Стефана Гречека и Катаржины Банах, уроженцев южно-польской провинции Подгалье. Его отец был рядовым и не имел права жениться, а мать была слишком бедной, чтобы содержать ребёнка, поэтому ранние годы Банах провёл со своей бабушкой.
В годы немецко-фашистской оккупации Банах подвергался жестоким издевательствам: "В годы немецко-фашистской оккупации Банах стал жертвой неслыханных издевательств: фашистские варвары заточили его в застенок именовавшийся у них институтом. Там крупнейший ученый был использован для кормления вшей с целью получения противотифозной сыворотки." ссылка-Большая Советская Энциклопедия второе издание том 4-й. После освобождения Львова вновь возглавил физико-математический факультет Львовского университета.

Научная деятельность
Банах о математиках:
Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик – тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик – тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии
Доказал теорему об открытом отображении.

Заметки о парадоксе

1. Понятие «парадокс» (παράδοξος, παρά τήν δόξαν) означает в греческом языке высказывание, противоречащее «доксе», т. е. господствующему, общепринятому мнению, ожиданию. Поскольку такое противоречие озадачивает, в античных риториках происходит отождествление парадокса с неожиданным, чудесным, странным. Уже Аристотель определяет парадокс не только как «высказывание вопреки общему мнению» , но также и как высказывание, «противоречащее прежде пробужденному ожиданию». Цицерон называет парадоксы стоиков «странностями и противоречащими мнению всех» («admirabilia contraque opinionem omnium»); Квинталиан проводит разделение между παράδοξον«admirabile», ενδοξον «honestum», αδοξον «humile» и αμφίδοξον «dubium vel anceps»: «удивительным называют то, что установлено против мнения людей» («admirabile autem vocant, quod est praeter opinionem hominum constitutum»).

2. Самый древний из известных парадоксов — засвидетельствованный Аристотелем парадокс «Лжец» : «Эпименид из Крита говорит: Все жители Крита лгут». Сокращенная версия такого типа парадокса гласит: «Я лгу» . Эти образцы семантического парадокса отличаются тремя признаками, которые многие теоретики считают основополагающими для парадокса вообще — противоречивостью, авторефлексивностью, циркулярностью.

3. В античности парадокс рассматривался как категория риторического действия. Поэтому эквивалентами парадокса являлись υπομονή, «sustentatio» («откладывание»), «inopinatum» («неожиданное»), т. е. категории, касающиеся процесса восприятия и подразумевающие продление идентификации:

«[Парадокс] оставляет мысль на полпути, тогда он приводит что-то более или менее противоречащее ожиданию слушателя, и поэтому он называется откладывание или неожиданное».

4. В Ветхом Завете слово παράδοξον, встречающееся только в поздних, греческих текстах, обозначает «чудное», «неожиданное». Единственное употребление этого слова в Новом Завете обнаруживает существенные структуры этого феномена. В конце повествования об излечении больного, страдающего параличом, в Евангелии от Луки (5,26) мы читаем:

«И ужас обнял их, и славили Бога и, быв исполнены страха, говорили: чудные дела видели мы ныне».
Увиденные «парадоксы» приводят свидетелей в «экстаз», побуждают их к прославлению Господа (δοξάζειν от слова δόξα) и наполняют их страхом.

5. Риторический парадокс, заключающийся в противоречии между членами высказывания (напр. «Только слепой Бога узрит» ), возникает вследствие смены точек зрения. На более высоком уровне противоречие снимается. Такое понимание выражается в радикальном тезисе, что парадокс — это проблема не бытия, но наблюдателя. Парадокс часто описывает не объективное противоречие в наблюдаемой действительности, а вытекает в большинстве случаев из точки зрения субъективного, сосредоточенного на каком-либо особом аспекте наблюдателя. Взаимоисключающими являются не столько стороны самой действительности, сколько применяемые к ним точки зрения. К этому феномену можно отнести, например, знаменитый парадокс Зенона из Элей, известный под названием «Ахилл и черепаха».Этот парадокс возникает лишь из-за неадекватности точки зрения. Ахилл в самом деле никогда не догонит черепаху, если он добегает только лишь до той точки, на которой находилась черепаха в тот момент, когда он тронулся с места. Разумеется, в действительности Ахиллу не составляет труда догнать черепаху. Однако он не может бежать только до того места, где находится черепаха в тот момент, когда он пускается бежать, но должен бежать — как это ни парадоксально — туда, где черепахи нет. Ошибка парадокса заключается, во-первых, в том, что бесконечный ряд уменьшающихся расстояний между Ахиллом и черепахой имеет конечное предельное значение, во-вторых, в том, что бесконечной является только возможность деления пути на отрезки, а не сам делимый путь или делимое время.

6. Парадокс (с его синтаксической редукцией — оксюмороном — т. е. «остро режущей глупостью», от слов οξύς «острый» и μωρος «глупый») содержит некое противоречие (между двумя сторонами бытия или двумя точками зрения), замедляет понимание, приводит воспринимающего в напряжение, вызывает усиление мышления и в итоге ведет к обнаружению скрытой истины, которая разоблачает «доксу», показывая ее иллюзорность. «Видимость», «фантазия», «заблуждение», «химера» образуют третью группу значений, которые, наряду со значениями 1) «ожидание» и 2) «мнение», «суждение» может иметь понятие «докса» (еще одну группу составляют значения «доброе имя», «слава», «почет» и — в Новом Завете— «величие», ср. δοξάζειν — «славить»).

7. Раскрытие «доксы» как иллюзорного, ошибочного мнения делает парадокс местом пребывания существенной, глубокой истины. Установка на скрытую до сих пор истину является постоянным компонентом распространенных определений парадокса:

«Парадокс эффектным образом ставит две величины в поразительные, казалось бы, противоречащие отношения, раскрывая таким образом в большей или меньшей степени сокрытое положение вещей».

8. Глубокая истинность отличает парадокс от абсурда, с которым он нередко путается. Уже И. Микрэлиус (1661) констатирует: «Interim παράδοξον etiam sumitur pro absurdo» («Иногда принимают парадокс за абсурд»), уточняя:

«Абсурд и парадокс различаются тем, что первое всегда означает отрицание верного, между тем как второе означает отрицание убеждения большинства людей».

9. От парадокса до абсурда — лишь один шаг. Стоит только забыть об оговорках, присущих парадоксальной речи, понимая фигуральное в буквальном смысле, и сразу же истинный парадокс превращается в нелепость. Такое превращение демонстрирует Пушкин в повести «Гробовщик». Герой повести превращает настоящий парадокс своего ремесла, то, что он живет за счет смерти своих клиентов, в абсурдность, выражающуюся в том, что он приглашает своих «благодетелей», «мертвецов православных», на новоселье.

10. В судебной риторике парадокс был прежде всего средством убеждения, которое должно было побудить слушателя к принятию чуждой для него до этого точки зрения, средством, действующим тем субтильнее, чем больше понимающий признает себя активным разоблачителем и опровергателем старых представлений.

11. Его - парадокса дидактическая диспозиция воздействия, его стимулирующий познание потенциал позволяют сравнить понятие парадокса с термином Шкловского «отстранение», точнее — с теми его аспектами, которые сводятся к этической функции. Парадокс как средство отстранения истины уже знали немецкие романтики. В своей статье «Über die Unverständlichkeit» («О непонятности») пишет Фридрих Шлегель:

«Все высшие истины всякого рода являются вполне тривиальными, и поэтому крайне необходимо выражать их всегда по-новому и, по возможности, каждый раз парадоксальнее, для того чтобы не забыть, что они всё еще существуют и что они не поддаются полному выражению».

Процитированное высказывание подразумевает знание и о том, что Шкловский называл автоматизацией отстранения, Шопенгауэр делает вывод, что «истине присуждается только короткое торжество между теми длительными сроками, когда она передается проклятию как парадоксальная и презирается как тривиальная». Преходящая свежесть парадоксов подтверждается также Марселем Прустом: «Les paradoxes d'aujourd'hui sont les prejuges de demain» («Парадоксы сегодняшнего дня — это предрассудки завтрашнего дня»).

12. Однако, если понимать парадокс как высказывание, совмещающее в себе два исключающих друг друга термина («Scio quia nescio» [Сократ]; «Только слепой Бога узрит»; «Deus mundo satan, Christus Antichristus» [С. Франк]), то он может быть связан с длительной действенностью. Об этом говорит Новалис:

«Разве высший принцип содержит в себе как задачу высший парадокс? Разве он предложение, не дающее покоя, всегда и привлекающее и отталкивающее, становящееся снова и снова непонятным, как часто бы оно ни понималось?»

13. Собственная истина парадокса не поддается прямому выражению, но может возникнуть лишь в модусе противоречия, в колебании между двумя взаимоисключающими истинами (напр. «media vita in morte sumus», «умереть — значит жить»). Так же как и метафора, содержащая в себе парадокс — стоит лишь вспомнить об Ахилле, предстающим как лев на поле битвы, — парадокс не может быть переведён. Парадокс требует разгадки и одновременно противится ей. Он является процессом, непрекращающимся движением.

14. Познание, сообщаемое парадоксом происходит внезапно, в модусе буквально и переносно понимаемого σκάνδαλον. Это слово образовано от индоевропейского корня skand-* («взлетать», «подскакивать» - НГ, ср. лат. «scandere» «подняться», санскрит. «skandati» «вскакивает») и происходит от слова σκανδάληθρον. Первоначально оно обозначало тот деревянный крючок западни, который носит приманку и подскакивает при прикосновении, закрывая западню, затем и саму западню. Парадокс — это явление опрокидывания понимания, резкой смены точек зрения. На этом эффекте основываются, например, известные изобразительные парадоксы нидерландского художника Морица Эшера (Maurits Escher), где наблюдатель постоянно колеблется, относя части изображения то к заднему, то к переднему плану. Окончательного решения не допуская, парадокс держит наблюдателя в постоянном движении.

15. Нарративные структуры также содержат более или менее явные парадоксы. Стоит лишь вспомнить вариацию Л. Стерна на парадокс Зенона в отношении процесса рассказывания к рассказанному: Если рассказчик из «Тристрама Шенди» в первый год своих записок и в четвертой книге еще не продвинулся дальше момента своего рождения, то он живет в 365 раз быстрее, чем он пишет. Отсюда следует удручающий вывод:

«вместо того чтобы подвинуться вперед, по мере дальнейшей работы — как обыкновенные писатели, я, наоборот, отодвинулся на несколько же томов назад...»

Рассказчик никогда не сможет закончить описание истории своей жизни, так как чем больше он продвигается в своем рассказывании, тем больше ему нужно рассказать.

16. Поскольку парадокс разоблачает «доксу» как не истинное, неправильное мнение, пересматривает существующие общепринятые ценности, подрывает твердую оппозицию, дает структурам типа «или-или» тертиум, делает понятие истины относительным, его критический потенциал может перелиться через край и поставить под сомнение возможность существования истины вообще. Поэтому парадоксы являются средствами выражения эпистемологической критики, всевозможных форм агностицизма и — с точки зрения «доксы» — нигилизма.

17. Парадокс доминирует в переходные эпохи, в неклассические, неупорядоченные общепринятыми нормирующими системами периоды, во времена эпистемологического не спокойствия. Эпохи и контексты, наиболее подверженные парадоксальному мышлению — досократики, поздняя античная культура (включая стоиков), теология апостола Павла, мистика позднего средневековья (Мастер Экхарт), поздняя схоластика (Николай Кузанский), эпоха гуманизма (Эразм Роттердамский, Томас Мор), позднее Возрождение (со своими вершинами, такими как Тассо, Монтень, Шекспир), барокко (ср. главу «De la agudeza paradoja» в «Agudeza y arte ingenio» Грасиана), романтизм, модернизм (Кафка, Беккетт, Борхес). Контекстом мышления, предназначенным для парадокса, может быть и постмодернизм, но только в том случае, если он имеет в достатке эндоксальный фон, являющийся условием для парадоксального «скандала».

20. Последнее условие напоминает о том, что прагматика парадокса сама является парадоксальной. Парадокс разоблачает, отвергает, преодолевает «доксу», будучи в то же время зависимым от её присутствия и действенности.

(выдержка из книги)

Меры против уловок

Предохранительные меры против софизмов и уловок. «Разоблачение» софизмов и уловок. «Обличение» в них. Вопрос о позволительности «ответных софизмов». Мотивы, оправдывающие их.

1. Кто хорошо изучил уловки софистов и умеет сейчас же распознавать их, тот в значительной мере обезопасит себя от них. Как отвечать на каждую из них в том или другом случае — зависит от такта, находчивости и т.д., спорщика. «Прописать особое лекарство» против каждой из них и для всех обстоятельств вряд ли возможно. Можно сказать только одно: кто принимает в споре все те предупредительные, «профилактические», так сказать, меры, какие мы указали в этой книге, тот в значительной мере охранит себя от всяких поползновений софиста. Главнейшие из них такие:

а) спорить только о том, что хорошо знаешь. Помнить, словом, наставление щедринского ерша «карасю-идеалисту»: «чтоб споры вести и мнения отстаивать, надо, по меньшей мере, с обстоятельствами дела наперед познакомиться»;

б) не спорить без нужды с мошенником слова или с «хамоватым» в споре, а если надо спорить, то быть все время «начеку»;

в) научиться «охватывать» спор, а не брести от довода к доводу;

г) всячески сохранять спокойствие и полное самообладание в споре — правило, особенно рекомендуемое;

д) тщательно и отчетливо выяснять тезис и все главные доводы — свои и противника;

е) отводить все доводы, не относящиеся к делу.

Если при этом спорщик знает хорошо и умеет распознавать быстро хотя бы все те уловки, которые указаны в этой книге, то софист редко может надеяться на успех своих уловок.
Иные считают нужным «разоблачать» уловки, а вместе с ними и софиста. На это можно сказать так: когда дело идет о софизме — лучше никогда не прибегать к этому средству или в самых редких очевидных случаях. Когда дело идет о других уловках — не о софизмах — то иногда наоборот: самое лучшее средство «разоблачить» уловку. Но и здесь есть много таких простых уловок (не софизмов), на которые лучший и единственный разумный ответ — не поддаваться им.

2. «Обличать» в софизме — ведь это в огромном большинстве случаев сводится к тому же «чтению в сердцах», сознательному или бессознательному: тут ведь дело идет о намерении человека, о намеренной ошибке. Обвинив в софизме — надо доказать обвинение, иначе это будет совершенно недопустимое, «голословное обвинение». А чтобы доказать его, надо:

а) доказать, что есть ошибка в доказательстве и

б) доказать, что она сделана намеренно.

Первое — часто доказать нетрудно. Но доказать с достоверностью наличность намерения «смошенничать в споре» в большинстве случаев очень трудно или невозможно. При этом спор может принять крайне тяжелый, неприятный личный характер, и мы останемся при недоказанном нами обвинении.
Надо помнить и то, что очень часто подобное обвинение не совершенно достоверно и для нас самих; а нередко, если оно и кажется нам достоверным, может казаться таковым ошибочно. Мы ведь здесь не застрахованы от промахов. По всему этому гораздо лучше и разумнее ограничиться только указанием ошибки в рассуждениях противника, не входя в обсуждение — намеренная она или нет. Этого ведь и вполне достаточно, чтобы разбить его доказательство. Остальное, как говорится, «от лукавого». Предоставим софистам обвинять собеседников в софизмах, — благо это одна из их любимых уловок. Как им её не любить, ведь это обвинение нельзя часто опровергнуть, как нельзя, конечно, и доказать. Но впечатление на слушателей спора и т.д., она может оставить, отчасти по принципу: «клевещите, клевещите, что-нибудь да прилипнет».

3. Зато такие уловки, как палочные доводы, аргументы к «городовому», срывание спора, инсинуация и т.д., и т.д. должны быть везде разоблачаемы, где только можно их доказать. Сущность же их такого характера, что доказать их наличность не составляет часто особого труда. Правда, на противника-софиста такие разоблачения влияют сравнительно редко: по большей части человек, сознательно прибегающий к ним, обладает довольно толстой кожей и его «разоблачениями» не проймешь, он будет продолжать свое дело. Но есть люди, которые пускают в ход такие уловки по недостаточной сознательности, «не ведают, что творят». Такие люди могут и «устыдиться», увидев воочию яркое изображение сущности своей уловки. Полезны подобные разоблачения и для слушателей и читателей. Наконец, вообще говоря, молчать и без протеста переносить подобные приемы там, где можно доказать их наличность — поступок даже противообщественный. Это значит — поощрять на них в дальнейшем. Протест в этих случаях — наш долг, хотя бы и нельзя было ожидать от него осязательного результата. Но, конечно, где наличность подобных уловок недоказуема, — приходится промолчать по тем же причинам, как и при софизмах.
Психологические уловки — внушение, отвлечение внимания, приёмы, направленные на «выведение из себя» противника и т.д. тоже обычно не требуют «разоблачения». Доказывать их наличность часто трудно, почти всегда — не к месту. Это сводит спор на личности, в грязь. Лучшее средство против них, — поскольку дело касается нас — не поддаваться им; на «внушение» отвечать соответственными приемами со своей стороны и т.д. и т.д. и т.д.

4. Последний совет касается важного вопроса: позволительно ли на уловки отвечать в споре соответственными уловками. Можно ответить на него так: — есть уловки, непростительные для честного человека ни при каких обстоятельствах. Например, такова гнусная уловка «расстроить» противника перед ответственным, важным спором, чтобы ослабить его силы; или «срывание спора» и т.д. и т.д. Есть всегда позволительные уловки, о которых мы говорили в начале этого отдела — например, оттянуть возражение и т.д. Остальные уловки — область, о которой мнения расходятся. Одни считают себя не в праве пускать их, хотя противник прибегает к самым гнусным приемам; другие — по большей части практики — думают, что они в таком случае позволительны. К числу подобных сомнительных уловок относятся софизмы. Одни никогда не опускаются до софизмов, другие считают софизмы иногда позволительными. Это уже дело совести.
В оправдание тем, кто на софизмы отвечает софизмами и другими уловками, можно сказать следующее. Часто возможны только два способа борьбы с софизмом:

а) показать с очевидностью, что доказательство неправильно; «раскрыть ошибку» и

б) ответить другим софизмом или уловкой, парализующей софизм противника.

Первый способ, конечно, безусловно кристально честен. К сожалению, во многих случаях он на практике или вовсе неприменим, или чрезвычайно затрудняет спор и ослабляет впечатление. Если спор при слушателях, а софист ловко орудует с помощью своих уловок, шансы в борьбе часто слишком становятся различны. Он, например, пускает в ход такой лживый или произвольный довод, разоблачить лживость или сомнительность которого перед данными слушателями очень трудно или даже невозможно. Довод его всецело основан на круге сведений и понятий, доступных данным слушателям или им свойственных, а потому совершенно для них ясен, понятен, прост и производит полную иллюзию неотразимой истинности. Для того, чтобы показать всю ложность его, надо поднять слушателей над их кругозором, дать им запас новых сведений, внушить новые предпосылки; надо показать, что вопрос далеко не так прост, как это кажется, а иногда, наоборот, очень сложен и запутан или даже не допускает достоверных решений. Все это часто совершенно неосуществимо. Если даже противник-софист даст вам без помех развивать длинные рассуждения и обосновывать предпосылки, то иной слушатель не станет их слушать: сбежит, заснет, запротестует. Все сложное, запутанное, неопределенное в рассуждении он склонен приписать изъяну вашего мышления. Напрягать внимание, чтобы следить за вашими новыми или трудными для него рассуждениями — ему тяжело. Между тем «на ясном и простом» доводе противника он «отдыхает». Вот молодец! — говорит ясно, просто и хватает самую суть. А тот — как пошел крутить! С одной стороны, нельзя не признаться, с другой нельзя не сознаться… Слушать тошно».
Вот пример для иллюстрации. Спорят о «Константинополе и проливах» — нужно требовать их или нет? Слушатели — темные рабочие и крестьяне, для которых весь мир вмещается, как для гоголевского героя, в пространстве «по ту и по эту сторону Диканьки».
Противник-софист говорит: «сами подумайте — люди вы взрослые. Зачем нам, мужикам, той Константинополь? И какие-то проливы? Зачем мы будем за них нашу кровь проливать? И так достаточно пролито. — А кто хочет Константинополя? Вы посмотрите: кто рабочий, кто крестьянин—те все не хотят. А хлопочут буржуи, капиталисты, богачи. Им это, небось, на руку. Им это первое дело, чтобы нажиться. Так пусть сами идут и свою кровь проливают. А нашей — довольно попили. Больше не дадим».
Попытайтесь разоблачить ошибочность этих выводов перед аудиторией из рабочих и крестьян. Вы увидите, как это трудно, когда даже в голову многих интеллигентов не вмещаются те возражения, которые можно привести против этой примитивной аргументации.
Вот почему люди, вполне честные и корректные, разрешают себе в крайних случаях отвечать на софизмы и уловки противника уловками и софизмами, когда спор идет о важных вопросах общественного, государственного и т.п. значения. Нечего лицемерить: этот способ борьбы с нечестным противником встречается нередко в тактике партий, в дипломатии и т.д., и т.д., и т.д. Различаются лишь пределами, до которых доходит пользование им. Но, повторяем, это дело совести каждого.
Во всяком случае, слова Шопенгауэра по этому вопросу нельзя принимать без ограничения:
«Если мы видим, — говорит он, — что противник пустил в ход мнимый или софистический аргумент, то, конечно, можно разбить последний, показав его ложность и обманчивую видимость. Но лучше возразить ему столь же мнимым и софистическим аргументом и нанести поражение этим путем. Ведь в таком споре дело идет не об истине, а о победе».
Выходит, что на софизмы всегда лучше отвечать софизмами.
Это уж очевидная крайность. На слова Шопенгауэра позволительно ответить так:
«где можно, там лучше не пачкаться в грязи».

Парадоксы импликации - это парадоксы, возникающие в связи с содержанием условных утверждений классической логики. (Условное утверждение называется в логике импликацией). Главная функция этих утверждений - обоснование одних утверждений ссылкой на другие.
В классической логике условное утверждение имеет форму "Если А, то В"?. Оно ложно только в том случае, если А истинно, а В ложно, и истинно во всех остальных случаях. Содержание утверждений А и В при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом по смыслу, составленное из них условное утверждение может быть истинным.
Так истолкованное условное утверждение носит название "материальной импликации". Оно обладает следующими особенностями:
Если А истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности В. То есть, истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения. Пример: утверждение "Если дважды два равно пяти, то снег бел" является истинным.
Если В ложно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности А. То есть, с помощью ложного утверждения можно обосновать все, что угодно. Пример: утверждение "Если дважды два равно пяти, то снег красный" является истинным.
Если А является противоречивым (сложным) утверждением, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности В. То есть, из противоречивого утверждения можно вывести все, что угодно. Пример: утверждение "Если дважды два равно четырем и дважды два не равно четырем, то Луна сделана из зеленого сыра" является истинным.
Если В является тавтологией (т.е. утверждением, истинным при любом содержании; такие утверждения выражают логические законы), то истинность все условного утверждения уже не зависит от истинности А. То есть логические законы следуют из любых утверждений. Пример: утверждение "Если снег бел, то дважды два равно четырем или дважды два не равно четырем" является истинным.
Эта особенность материальной импликации является прямым следствием двух основных допущений классической логики:

1) всякое утверждение либо истинно, либо ложно, а третьего не дано:
2) истинностное значение сложного утверждения зависит только от истинностных значений
2) входящих в него простых утверждений, а также от характера связи между ними, и не зависит от их содержания.

В рамках этих двух допущений более удачное построение условных утверждений невозможно.
Ясно, что материальная импликация плохо выполняет свою функцию обоснования. Подобное положение дел, отстаиваемое классической логикой, получило название "парадоксов материальной импликации".
С целью решения этих парадоксов в 1912 году американский логик К. Льюис предложил заменить материальную импликацию так называемой "строгой импликацией", которая как-то отражает связь простых утверждений, составляющих условное утверждение, по смыслу. Правда потом оказалось, что строгая импликация сама не свободна от парадоксов. Поэтому в 50-е годы прошлого века немецкий логик В. Аккерман и американские логики А. Андресон и Н. Белнап предложили другой вариант условной связи - "релевантную импликацию", - которая разрешает не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Этой импликацией можно связывать только такие утверждения, которые имеют общее содержание.
Что собой представляет эта импликация, можно посмотреть на примере дедукции - метода умозаключений, в котором применяются условные утверждения. Классическим примером дедукции является следующая:

Все люди - смертны.
Все греки - люди.
Следовательно, все греки - смертны.

(Условная связь этих утверждений станет очевидна, если мы представим их в следующем виде:

Если все люди смертны,
И если все греки люди,
То все греки смертны).

В классической логике это умозаключение имеет следующую форму: если перове, то второе; имеет место первое; значит есть и второе. Такая форма дедукции является правильной. Неправильной дедукцией будет такая форма: если первое, то второе; имеет место второе; значит есть и первое. Если вложить в эту форму прежнее содержание, то получится следующее:

Все люди - смертны.
Все греки - смертны.
Следовательно, все люди - греки.

Ясно, что это умозаключение является неправильным. Классическая логика утверждает, что неправильное оно потому, что имеет неправильную форму. На самом деле это не совсем так, поскольку данная форма не существовала изначально, а была получена на основе анализа содержания множества подобных умозаключений. В результате этого анализа была произведена классификация этого содержания, которая потом и была обобщена в логической форме данных умозаключений. В частности, класификация, на которой основана рассмотренная дедукция, имеет следующий вид:

люди -> европейцы -> греки -> жители Афин -> ...

В качестве классификационного признака берется смертность объектов. Первая посылка приписывает этот признак наиболее общему классу данной классификации, т.е. классу людей. Само собой, что следующие, более частные классы данной классификации также будут обладать этим признаком. Поэтому когда вторая посылка устанавливает принадлежность греков к данной классификации, то тем самым она наделяет их и признаком смертности. Заключительный вывод только констатирует это, не внося в рассуждения ничего нового.
В свою очередь, в неправильной форме данной дедукции вторая посылка ставит более частный класс на один уровень с исходным классом, из-за чего и происходит обобщение частного признака на этот (исходный) класс.
Так вот, аналогичное содержание ложится в основу и релевантной импликации. Классификационное (дедукционное) содержание является частным случаем этого содержания.

Парадокс воронов



Парадокс Хемпеля является примером парадоксов индуктивной логики. Согласно этому парадоксу, примерами, подтверждающими утверждение "Все вороны - черные", являются все объекты, являющиеся одновременно черными и воронами. А поскольку данное утверждение равносильно утверждению "Все нечерное - не ворона", то подтверждение последнего должно быть также подтверждением первого. Но утверждение "Все нечерное - не ворона" подтверждается каждым случаем нечерного предмета, не являющегося вороной. Получается, что наблюдения "Яблоко - красное", "Трава - зеленая" и т.п. подтверждают утверждение "Все вороны - черные". По меньшей мере, это противоречит нашей интуиции.
Прежде всего нужно отметить, что все утверждения индуктивной логики имеют вероятностный характер, т.е. не абсолютно истинны, а лишь с той или иной степенью вероятности. Это относится и к исходному утверждению данного парадокса "Все вороны - черные", которое подтверждается только каждым случаем объекта, являющегося черным и вороной (поскольку вполне возможны и вороны-альбиносы). А раз так, то утверждение "Все нечерное - не ворона" отнюдь не равносильно утверждению "Все вороны - черные", и наблюдение "Яблоко - красное" не может считаться подтверждением утверждения "Все вороны - черные".
Переход от утверждения "Все вороны - черные" к утверждению "Все нечерное - не ворона" называется в логике "прямым доказательством через обращение". По сути дела, это тот же метод доказательства от противного, что и в математике. Но этот метод может считаться доказательным только в том случае, когда имеется только два варианта ответа - прямое утверждение и противоположное ему, - и нет никаких промежуточных вариантов. В индуктивной логике всегда есть вероятность промежуточных вариантов, поэтому данный метод не имеет доказательной силы. То есть, он здесь попросту незаконен, поэтому "Ворона Хемпеля" - это не парадокс, а софизм.

Доказательство одноцветности всех лошадей



Предположим, доказано, что любые N лошадей одного цвета. Добавим к этим лошадям еще одну лошадь. Количество их станет равным N+1. Удалим одну произвольную лошадь. Количество их снова станет равным N. Поскольку уже доказано, что любые N лошадей одного цвета, то и полученное множество лошадей будет одного цвета. Перебирая (удаляя) всех лошадей по одной, снова получим N лошадей одного цвета. Таким образом, доказано, что N+1 лошадей тоже одного цвета. Беря N+2, N+3 и т. д. лошадей (и удаляя соответствующее их количество), доказываем, что все лошади одного цвета.
Данное доказательство является софизмом. Ошибка здесь в самом исходном предположении о доказанности, что любые N лошадей одного цвета. Ведь если в качестве N мы возьмем количество всех лошадей на нашей планете, то сразу же становится ясно, что это доказательство ложное (или вообще не существует), поскольку все лошади нашей планеты не являются одноцветными. Можно, конечно, взять всех лошадей во Вселенной, но ведь еще не факт, что где-то помимо нашей планеты существуют лошади, такие же как на Земле. А если и существуют, то еще не факт, что они имеют те же цвета, что и земные лошади. Тем более, что в качестве N можно взять и всех лошадей во Вселенной…
С другой стороны, если заменить в исходном предположении слово любые на слово некоторые, то такое предположение действительно можно доказать. Но тогда утрачивается смысл только что проведенного доказательства, поскольку оно основано именно на утверждении, что любые N лошадей одного цвета…

Парадокс неожиданной казни


Осуждённого бросили в тюрьму в субботу.
- Тебя повесят в полдень, - сказал ему судья, - в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.
Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осужденный вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоем, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.
- Неужели не понятно? - воскликнул он. - Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!
- Как? Ничего не понимаю, - пробормотал узник.
- Сейчас объясню. Очевидно, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота - последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в субботу. Таким образом, о дне казни тебе бы стало известно до официального уведомления в субботу утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.
- Верно, - согласился заключенный.
- Итак, суббота, безусловно, отпадает, - продолжал адвокат, - поэтому пятница остается последним днем, когда тебя могут повесить. Однако и в пятницу повесить тебя нельзя, ибо после четверга осталось бы всего два дня - пятница и суббота. Поскольку суббота не может быть днем казни, повесить тебя должны лишь в пятницу. Но раз тебе об этом станет известно еще в четверг, то приказ судьи опять будет нарушен. Следовательно, пятница тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя еще могли бы казнить, это четверг. Однако четверг тоже не годится, потому что оставшись в среду живым, ты сразу поймешь, что казнь должна состояться в четверг.
- Все понятно! - воскликнул заключенный, воспрянув духом. - Точно так же я могу исключить среду, вторник и понедельник. Остается только завтрашний день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня!

Прежде всего, нужно отметить, что первая часть рассуждений заключенного и адвоката, когда они исключают последний день недели как день казни, вполне оправдана. Поэтому если судья не глупее их и заранее просчитал ситуацию, то он должен был назначить казнь на любой день, кроме последнего, чтобы заключенный мучался каждую ночь до самого дня казни. Поскольку именно такому мучительному ожиданию он и хотел подвергнуть его, устанавливая такие условия казни... Хотя и здесь не все так однозначно, как может показаться на первый взгляд. Судья ведь специально не оговаривал, что если заключенный правильно предскажет день казни, то она будет отменена, поэтому мог назначить ее и на последний день. Так она будет даже более неожиданной, чем в любой другой день, поскольку в предпоследний день заключенный решит, что казни не будет...
Но когда заключенный и адвокат исключают предпоследний день недели как день казни, то эти рассуждения уже не имеют никакого отношения к реальной действительности! Объясняется это тем, что сделать такой вывод они могут только в том случае, если заключенный уже прождал до пред-предпоследнего дня, а не когда судья только объявил ему свой приговор. Более того, даже свой первый вывод, когда они исключают последний день недели как день казни, они могут сделать только в том случае, если заключенный уже прождал до предпоследнего дня. Но этот вывод оправдан хотя бы тем, что судья тоже должен был просчитать эту ситуацию и тоже должен был исключить последний день недели как день казни для максимальной реализации условий приговора. (Хотя максимальными они являются только с точки зрения заключенного и адвоката. С точки зрения судьи максимальными они будут, если он назначит казнь на последний день). Вывод же, исключающий предпоследний день недели как день казни, не оправдан ничем, поскольку делается сразу же после объявления судьей приговора.
Таким образом, приговор будет приведен в исполнение в точном соответствии со своей формулировкой, и у заключенного нет ни малейшей возможности отвертеться от наказания. Все их рассуждения с адвокатом - это всего лишь уловка, логическая ошибка, умалчивающая о том, что прежде чем сделать сделать любой шаг данной цепочки рассуждений, заключенный должен прождать до соответствуюего дня недели в точном соответствии с формулировкой приговора.
Поэтому "Парадокс неожиданной казни" - это на самом деле не парадокс, а софизм.

Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона (по рассказу Роберта Льюиса Стивенсона "Сатанинская бутылка") описывается сходной логикой.
Предпосылка рассказа такова: герой покупает бутылку, в которую заключен черт. Бывший хозяин бутылки объясняет ему, что черт выполняет любые желания, но за это хозяин бутылки должен будет после смерти гореть в аду. Кроме того, исполнение любого желания приносит несчастья близким хозяина бутылки. Выбросить бутылку ее хозяин не может, он может только ее продать, причем продать с убытком, т.е. за меньшую цену, чем покупал.
Предпосылка рассказа создает парадокс: какова самая низкая цена, за которую бутылка может быть продана?
Ясно, что покупка ее за один цент делает невозможной ее последующую продажу с убытком для себя. Точно также ее невозможно продать за один цент, если вы купили ее за два цента, но при продаже раскрываете покупателю все детали и последствия сделки. Точно также ее невозможно продать за два цента, если вы купили ее за три цента, продать за три цента, если вы купили ее за четыре цента, и вообще за любую конечную сумму, поскольку ваш покупатель (при раскрытии всех деталей и последствий сделки) наверняка выскажет опасение, что после этого никто бутылку у него не купит. С другой стороны, если цепочка возможных продаж еще достаточно длинная, то, в принципе, вы всегда можете найти покупателя на эту бутылку, а он - своего покупателя. Но с каждой продажей шансы найти такого покупателя уменьшаются, и уменьшаются тем больше, чем с большим убытком продается бутылка.
В рассказе есть еще несколько сюжетных линий, пытающихся решить данный парадокс - это разница денежных курсов разных стран, подвиг любимого человека, готового выкупить бутылку за предельную цену, и жадность человека, которому наплевать на свое посмертие, - но эти линии не отвечают на главный вопрос парадокса: какова самая низкая цена, за которую бутылка может быть продана?
Если примерить данный парадокс к парадоксу неожиданной казни, то становится ясно, что ответа на поставленный вопрос нет. Для каждого покупателя бутылки, кроме последнего, поиск этого ответа будет чистой игрой в рулетку. Вычислять логически свои шансы здесь также бесполезно, как и в парадоксе неожиданной казни (при условии, что каждый продавец разъясняет каждому покупателю все детали и последствия сделки).

Парадокс Берри

Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. (На самом деле количество слов в таком имени, если исходить из имеющегося количества образующих слов, должно быть значительно меньше. Но для формулировки парадокса это не важно; важно только чтобы это количество было больше количества слов в том имени, которое вводится в данном парадоксе). Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов" является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось число, для которого нет имени!
Честно говоря, не понятно, почему эту логическую конструкцию относят к парадоксам. По всем признакам, это типичный софизм, наподобие апорий Зенона. В данном случае имеет место подмена грамматических правил, по которым образуются имена натуральных чисел. Обычные имена этих чисел образуются по своим, сугубо специфическим правилам, которые и декларируются в начале данного софизма, ограничивая количество имен этих чисел в русском языке. Но затем в нем (парадоксе Б.) делается необоснованный переход к другим правилам (эти правила совпадают с общей грамматикой нашего языка, они регламентируют описание свойств натуральных чисел, тогда как в правилах, регламентирующих построение обычных имен этих чисел, данные свойства не фигурируют), по которым также могут образовываться имена натуральных чисел, но которые имеют весьма отдаленное отношение к предыдущим правилам. По крайней мере, качественное различие между этими правилами существует. Именно такой необоснованный переход, приводящий к парадоксальному выводу (что "названным оказалось число, для которого нет имени"), и совершается в парадоксе Берри.
Выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов" само по себе еще не является именем числа, но его можно ОБЪЯВИТЬ именем числа, что и проделывается неявно в данном парадоксе. Причем само по себе это еще не ведет к парадоксу, если специально оговорить, что вводимое имя - особое, образуемое совсем по другим правилам, нежели обычные имена натуральных чисел, и применимое только в данной особой ситуации. Подобных особых имен в математике достаточно много, и введение ни одного из них еще не приводило к парадоксу именно потому, что они употребляются только в своих, особо оговоренных ситуациях. Например, имя "пи" для иррационального числа 3,14.... Обычное имя этого числа было бы бесконечным, но его особое имя состоит всего из одного слова.
Один из путей формализации данного решения - введение надстрочных (подстрочных) обозначений для неоднозначных терминов (таких как именуемый, определимый, истинный, ложный и т.д.), чтобы один уровень значений был более приоритетным над другими в одной и той же интерпретации. Так, например, число, не "именуемое* с помощью менее чем сто слов" может быть "именуемым с помощью менее чем сто слов"...

Парадокс Карри

Естественно-языковая версия парадокса Кэрри формулируется следующим образом:

Если это предложение является истинным, то Санта Клаус существует.

Мы не должны верить заранее, что это предложение является истинным или что Санта Клаус существует, но мы можем спросить: если это предложение является истинным, то существует ли тогда Санта Клаус?
Если это предложение является истинным, тогда все условное высказывание (а именно, Если это предложение является истинным, то Санта Клаус существует) также является истинным. Следовательно ответ на наш вопрос должен быть такой: да, Санта Клаус существует, если это предложение является истинным. Но именно это (т.е. то, что оно является истинным) в нем и утверждается. Следовательно, это предложение действительно является истинным. А поскольку мы уже установили, что Санта Клаус существует, если это предложение является истинным, и что все это - истина, то Санта Клаус должен существовать.
С другой стороны, мы с таким же успехом можем заменить предложение "Санта Клаус существует" на предложение "Санта Клаус не существует", и вышеприведенное доказательство также покажет, что все это - истина. Получился парадокс.
Парадокс назван так в честь американского логика Хаскелла Карри.

В этом парадоксе делаются две ошибки (т.е. он является софизмом). Во-первых, мы отбросили версию ложности предложения это предложение является истинным, поскольку, в отличие от рассмотренной версии, ее невозможно ни доказать, ни опровергнуть. С учетом этой версии мы не можем окончательно утверждать истинность предложения это предложение является истинным, а тем более переходить к завершающему этапу формулировки парадокса, поскольку эта версия полностью равноправна с предыдущей.
Во-вторых, истинность предложения это предложение является истинным нельзя устанавливать на основании одного лишь того, что именно это в нем и утверждается. Прежде чем установить истинность какого-то предложения, сначала мы должны понять, что оно означает. Например, истинность предложения "дважды два равно четырем" мы сможем установить только в том случае, если знаем, что означает каждое его слово и все предложение в целом. В данном случае мы знаем, что означает каждое из этих слов, и что дважды два действительно равно четырем. Но мы не могли бы установить истинность этого предложения, если бы не знали, что дважды два равно четырем. Более того, мы не могли бы установить эту истинность, если бы не знали, что означает это предложение.
Данный пример хорошо показывает, что истинность любого предложения зависит от того, что оно означает. Если его значение не зависит от его истинности, то мы всегда можем установить последнюю либо опытным путем, либо с помощью логического доказательства. Если же предложение устроено так, что его истинность зависит от его значения, то мы не можем установить его истинность, оказываемся в логической ловушке.
Именно так и устроено предложение это предложение является истинным. Прежде чем установить истинность этого предложения, сначала мы должны понять, что оно означает, о чем в нем говорится. В нем говорится о том, что оно истинно. Но в том-то и дело, что в данном случае мы не знаем, к чему относить эту истинность, к какому предметному смыслу? Если же относить ее к самому утверждению истинности, то получается бессмыслица, вроде "масляного масла". Но именно это и проделывается в парадоксе Карри, когда мы утверждаем истинность предложения это предложение является истинным на основании одного лишь того, что оно само это утверждает...В данном случае мы имеем дело с тем же нарушением требования разграничения в естественном языке предметного языка и метаязыка, что и в парадоксе лжеца. Разница лишь в том, что последний использует предложение это предложение является ложным, а парадокс Карри - предложение это предложение является истинным. Формулируя свой парадокс подобным образом, Карри, по всей видимости, хотел показать, что к парадоксу может вести и последнее предложение...
К сказанному можно добавить, что в классической логике, абстрагирующейся от смыслового содержания высказываний, парадокс Карри невозможен. В этой логике истинность условного высказывания можно устанавливать только тогда, когда известна истинность составляющих его простых высказываний. В парадоксе Карри истинность последних неизвестна (она устанавливается в ходе самой формулировки парадокса), а значит невозможно установление истинности всего условного высказывания.

---