-Метки

jyj Аккорд Шива акрофония алфавит артефакт братья брахма вера ви къ вишну волна воля врата время выбор генератор геном гласные глюоновые цепи го ръ гой дети динозавры днк днк-калькулятор додекаэдр женщина жы жъ звон рун звук зга земля зерно зло икосаэдр истина исчисления слов кеплер лигатура лигатуры любовь матрица мозг мужчина нота ля нуклеотид образ октавность пётр1 паразит паразитарная форма жизни пение переход перец пирамида позвоночник полынь природный арифмометр пришелец программа для написания текстов производные руны пространство путь разум род родовая память роза рунный редактор руны макоши руны мары руны рода руны руского рода руский род руский язык свёртки свати сетка сила слова сказка скрижаль слово слог слоговые руны согласный солнце сота стихи судьба суперструны супружество фермион фоменко в.н. формообразующее начало х.аргуэльес хараводъ цветок число пи чудинов эрцгамма

 -Всегда под рукой

 -Поиск по дневнику

Поиск сообщений в СъЛоВо

 -Подписка по e-mail

 

 -Статистика

Статистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
Создан: 01.08.2012
Записей:
Комментариев:
Написано: 989


Системы исчисления

Четверг, 20 Сентября 2012 г. 17:31 + в цитатник

Системы исчисления

 

Воскресенье, 17 Октября 2010 г. 17:08 (ссылка)
Процитировано 1 раз + в цитатник

Источник





Системы исчисления


Двенадцать лет в восьмеричной системе исчисления.
Аркадий и Борис Стругацкие, \"Хромая судьба\". Мальчик-вундеркинд Стругацких был, надо полагать, из племени северных паме, который так бы и назвал свой возраст: kara tenhiuŋ nuji - \"первая восьмерка (и) два\".
Под системами исчисления я имею здесь в виду, три разные вещи: системы образования числительных в разных естественных языках мира, системы записи чисел (как позиционные, так и не позиционные) и различные системы счетных единиц для счета предметов, отрезков времени, всевозможных мер и т. д. Разумеется, в математике возможно бесконечное число систем исчисления, но реально на Земле использовали когда-либо в одном или нескольких из этих смыслов всего 18 таких систем.



Три из них основаны на числе пальцев:
- пятеричная (на одной руке);
- десятичная (на двух руках);
- двадцатеричная (на руках и ногах);
- на счете промежутков между пальцами: четверичная (на одной руке) и восьмеричная (на двух руках);
- на общем числе частей тела: пятнадцатеричная, шестнадцатеричная (с одной стороны) и двадцатесемеречная (с двух сторон).
- четверичная система также может восходить к числу конечностей у людей и животных;
Еще две системы:
- астрономического происхождения: семеричная - по числу видимых \"планет\" в геоцентрической системе
- двенадцатеричная - по числу лунных месяцев в солнечном году. Происхождение остальных восьми - не ясно: двоичная, троичная, шестеричная, девятеричная, тринадцатеричная, восемнадцатеричная, coроковичная и шестидесятеричная. Рассмотрим их всех по-порядку. Системы исчисления на базе 24, 25 и 32 я не рассматриваю отдельно, поскольку они производны от четверичной и пятеричной.

2

Двоичная система числительных довольно широко распространена среди языков Новой Гвинеи и аборигенов Австралии. Вот несколько примеров чистой двоичной системы в языках Новой Гвинеи:

Southern Kiwai
1 neis
2 netewa
3 netewa nao
4 netewa netewa
5 netewa netewa nao

Sissano
1 puntanen
2 eltin
3 eltin puntanen
4 eltin eltin
5 eltin eltin puntanen

А вот пример комбинации двоичной и пятеричной систем в языке нуггубую в Австралии:
Nuggubuyu
1 anjbadj
2 wulawa
3 wulanjbadj
4 wulawulal
5 marangandjbugidj

Двоичные цифровые системы употреблялись для гадания в древнем Китае и у народа йоруба в Западной Африке. По китайской системе И Чен триграммами и гексаграммами, состоящими из двух знаков - горизонтальной черты и такой же черты, но с пробелом в середине - можно записывать числа до 8 и 64. Четыре таких триграммы изображены на современном флаге Южной Кореи, а старый флаг Южного Вьетнама изображал одну такую триграмму. По системе ифа у йоруба тетраграммами из двух знаков - вертикальной черты и пары таких черт - можно записывать числа до 16. Система И Чен происходит от гадания по трещинам на костях, бросаемых в огонь, а система ифа - от гадания по разбросанным пучкам прутьев. Древнеегипетская система записи дробей \"глаз Гора\" тоже была двоичной, поскольку шесть частей глаза обозначали дроби в возрастающих степенях двух: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64.
md, греческое zeugos, латинское jugum.
Древние евреи считали пары жертвенных голубей \"гнездами\" (киним), и этому виду жертвоприношений посвящен специальный трактат Мишны. Римская мера площади centuria (\"сотня\") состояла из 200 jugera - участков земли, которые упряжка быков могла вспахать за день, потому что она делилась на 100 двухъюгерных участков - heredia (\"наследство\"). Обычай считать парами был широко распространен в древнем мире. Так было принято считать упряжки быков, ослов и лошадей: угаритское s
В современном мире, разумеется, двоичная система записи цифр получила широчайшее распространение благодаря компьютерной технике.

3

Числительные формируются по троичной системе в языке вингей на Новой Гвинее, но не последовательно, поскольку числами третьего и четвертого порядка там служат 6 и 12, а не 9 и 27.

Wingei
1 nawurak
2 vétik
3 kupuk
4 kupukiva
5 kupuk'etik
6 taabak (рука)
7 taabak kaayek
8 taabak kaayek vétik
9 taabak kaayek kupik
10 vétik taaba vétik
11 nawurak taaba vétik
12 taaba vétik (две руки)

Троичная цифровая система была разработана в древнем Китае на рубеже первого века до н. э. и первого века н. э. как альтернатива двоичной системе И Чен. Тетраграммами, состоящими из трех знаков - горизонтальной черты, черты с пробелом и черты с двумя пробелами - можно записывать цифры до 256.

4

Четверичная система числительных существовала в ныне вымерших языках группы чумаш в Северной Калифорнии:

Chumash (1)pak'a (2)ishkóm' (3)masix (4)skum'u (5)yitipak'a (6)yitishkóm' (7)yitimasix
Ventureño (1)paqueet (2)eshcóm (3)maség (4)scumú (5)itipaqués (6)yetishcóm (7)itimaség

Многие языки Новой Гвинеи тоже ее используют. Вот некоторые примеры:

Kewa
1 pameda
2 laapo
3 repo
4 ki рука
5 kode большой палец
6 kode laapo два больших пальца
7 kode repo три больших пальца
8 ki laapo две руки
9 ki laapo na kode две руки и большой палец
10 ki laapo kode laapo две руки, два больших пальца
11 ki laapo na kode repo две руки и три больших пальца
12 ki repo три руки

Wogeo
1 ta
2 ru
3 tol
4 kwik
5 kwik bo koba
6 kwik ba rago
7 kwik be tol
8 kiki ru

В двух языках четверичная система последовательно используется для формирования числительных более высокого порядка: в языке каколи на Новой Гвинее и в языке нгити в Северном Конго. В языке каколи после 48 четверичная система превращается в систему исчисления на базе 24:

Kakoli
1 telu
2 talu
3 yepoko
4 kise
5 telupakara
6 talupakara
7 yepukupakara
8 engaki
9 rureponga telu
10 rureponga talu
11 rureponga yepoko
12 rurepo
13 malapunga telu
14 malapunga talu
15 malpunga yepoko
16 malapu
17 supunga telu
18 supunga talu
19 supunga yepoko
20 supu
21 tokapunga telu
22 tokapunga talu
23 tokapunga yepoko
24 tokapu
25 alapunga telu
26 alapunga talu
27 alapunga yepoko
28 alapu
29 polangipunga telu
30 polangipunga talu
31 polangipunga yepoko
32 polangipu
48 tokapu talu (24x2)
72 tokapu yepoko (24x3)
576 tokapu tokapu (24x24)

А в языке нгити четверичная система после 64 уступает место системе на базе 32:

Ngiti
Number Numeral

1 atdí
2 ɔyɔ
3 ìbhu
4 ìfɔ
8 àrù
12 otsi
16 ɔpi
20 àbà
24 àròtsí
28 àdzòro
32 wǎdhì
64 ɔyɔ wǎdhì
96 ìbhu wǎdhì
128 ìfɔ wǎdhì

Обычай считать четверками широко распространен в австронезийских языках. В Индонезии принято считать \"собаками\" (асу) по числу ног, так что 200 свиней там называются \"50 собак\".
Система летоисчисления по Олимпиадам, принятая в Древней Греции, тоже была основана на четверичном принципе, поскольку Олимпийские игры происходили раз в четыре года.

5

Пятеричная система образования числительных первого десятка реконструируется для шумерского языка:

1 aš, diš, dili
2 min
3 eš
4 limmu
5 ia
6 àš (ia-aš)
7 imin (ia-min)
8 ussu (ia-eš)
9 ilimmu (ia-limmu)
10 u

Среди живых языков она распространена в мон-кхмерских языках в Юго-Восточной Азии, в языке волоф в Западной Африке, в некоторых кой-санских языках Южной Африки, в языках группы тупи-гуарани и аравакской группы в Южной Америке и во многих языках Новой Гвинеи и Австралии. Вот некоторые примеры:
Азия:

Khmer
1 muŏy
2 pi
3 bei
4 buŏn
5 prăm
6 prăm muŏy
7 prăm pi
8 prăm bei
9 prăm buŏn
10 dâp

Африка:

Wolof
Number Reading Meaning

1 benna 1
2 ñaar 2
3 ñetta 3
4 ñenent 4
5 juróom 5
6 juróom benna 5 + 1
7 juróom ñaar 5 + 2
8 juróom ñetta 5 + 3
9 juróom ñenent 5 + 4
10 fukka 10

Sandawe (1)ts'exe (2)kiso-x (3)somki-x (4)haka-x (5)kwa?ana (6)kwa?ana danda ts'ex (7)kwa?ana danda kiso-x (8)kwa?ana danda somki-x (9)kwa?ana danda haka-x (10)kom

Америка:
Guaraní
1 petei
2 imoco
3 mbohapy
4 irundy
5 po (рука)
6 po'aripetei
7 ipo'arimoco
8 idundy'ari irundy
9 po'ari irundy
10 i (две руки)pomoco

Нетрудно заметить, что число 8 образовано по четверичной, а не пятеричной системе.
Новая Гвинея:

Seimat
1 tehu
2 huohu
3 toluhu
4 hinalo
5 tepanim
6 tepanim tehu
7 tepanim huohu
8 tepanim toluhu
9 tepanim hinalo
10 huopanim

Только в одном языке аборигенов Австралии гуматдж пятеричная система последовательно используется до третьего порядка, а затем переходит в систему на базе 25:

Gumatj
Number Numeral

1 wanggany
2 marrma
3 lurrkun
4 dambumiriw
5 wanggany rulu
10 marrma rulu
15 lurrkun rulu
20 dambumiriw rulu
25 dambumirri rulu
50 marrma dambumirri rulu
75 lurrkun dambumirri rulu
100 dambumiriw dambumirri rulu
125 dambumirri dambumirri rulu
625 dambumirri dambumirri dambumirri rulu

Старейшей цифровой системой, построенной на комбинации двух цифр: 1 и 5 - была цифровая система \"культуры полей погребальных урн\" (Urn-field Culture) в доисторической Центральной Европе. 1 записывался там как /, а 5 - как \\. При помощи их комбинаций записывались числа до 29:

/ 1
// 2
/// 3
//// 4
\\ 5
/\\ 6
//\\ 7
///\\ 8
////\\ 9
\\\\ 10
/\\\\ 11
//\\\\ 12
///\\\\ 13
////\\\\ 14
\\\\\\ 15
/\\\\\\ 16
//\\\\\\ 17
///\\\\\\ 18
////\\\\\\ 19
\\\\\\\\ 20
/\\\\\\\\ 21
//\\\\\\\\ 22
///\\\\\\\\ 23
////\\\\\\\\ 24
\\\\\\\\\\ 25
/\\\\\\\\\\ 26
//\\\\\\\\\\ 27
///\\\\\\\\\\ 28
////\\\\\\\\\\ 29
В Центральной Америке цифровая система, состоящая из знаков для единицы (точка) и пяти (горизонтальная черта) возникла в середине первого тысячелетия до н. э. в современном мексиканском штате Оахака у народа сапотеков, оттуда распространилась к так называемым ольмекам (их самоназвание неизвестно) в современном штате Веракрус, а от них к майя. Но это была уже позиционная система, построенная на двадцатеричном принципе, и при помощи этих двух знаков записывались только числа до 20.
Цифровыми системами с использованием интервалов в 5, 50, 500 и т. д. были и аттическая акрофоническая система, и система римских цифр. В древней Аттике I значило 1, греческая буква П - 5 (от гр. pente), Δ - 10 (от гр. deka), Н - 100 (от гр. hekaton, поскольку в аттическом алфавите буква эта обозначала h, как в латинском, а не долгое э, как в ионийском алфавите, принятом в Аттике с 403 г. до н. э.), Х - 1.000 (от гр. chilioi), М - 10.000 (от гр. myrias). При этом, для записи 50 дельта подвешивалась, как на виселице, под правой ножкой буквы пи. Буквы эта, хи и мю точно также подвешивались для записи 500, 5.000 и 50.000.

6

Шестеричная система числительных реконструируется для прото-финно-угорского языка, поскольку только шесть первых числительных в этих языках сводятся к общему прототипу:

Number Baltic-Finnic Volgan Permic Ugric Proto-F-U
Finnish Inari Sami Erzya Meadow Mari Komi Mansi Hungarian

1 yksi ohta vejke ikte öti äkwa egy *ükte
2 kaksi kyeh´ti kavto kokət kyk kityg kettő/két *kakta
3 kolme kulma kolmo kumət kujim hurum három, harm- *kolme
4 neljä nelji ńiľe nələt ńoľ nila négy *neljä
5 viisi vitta vete wizət vit ät öt *viite
6 kuusi kutta koto kuðət kvait hot hat *kuute
7 seitsemän čiččam śiśem šəmət sizym sat hét
8 kahdeksan käävci kavkso kandaš(e) kökjamys ńololow nyolc
9 yhdeksän oovce vejkse indeš(e) ökmys ontolow kilenc
10 kymmenen love kemeń lu das low tíz

В живых языках эта система встречается в двух языках Новой Гвинеи и, факультативно, в бретонском языке. Только в одном языке ндом на Новой Гвинее она последовательно используется для формирования всех числительных второго и третьего порядков (36):

Ndom
Number Reading Meaning

1 sas 1
2 thef 2
3 ithin 3
4 thonith 4
5 meregh 5
6 mer 6
7 mer abo sas 6 and 1
8 mer abo thef 6 and 2
9 mer abo ithin 6 and 3
10 mer abo thonith 6 and 4
11 mer abo meregh 6 and 5
12 mer an thef 6 times 2
13 mer an thef abo sas (6 times 2) and 1
18 tondor 18
19 tondor abo sas 18 and 1
24 tondor abo mer 18 and 6
25 tondor abo mer abo sas 18 and 6 and 1
36 nif 36
37 nif abo sas 36 and 1
42 nif abo mer 36 and 6
43 nif abo mer abo sas 36 and 6 and 1
54 nif abo tondor 36 and 18
55 nif abo tondor abo sas 36 and 18 and 1
72 nif thef 36 × 2
73 nif thef abo sas (36 × 2) and 1

Kimaghama
1 növere, nubella
2 kave
3 pendji
4 jando
5 mado
6 turo, ibolo-nubella
7 iburo-növere
8 iburo-kave
9 iburo-pendji
10 iburo-jando
11 iburo-mado

Breton
18 triwec'h 3 × 6*

7

Семеричная система числительных нигде и никогда не употреблялась, но, несмотря на это, семеричная система счета существует на базе семидневной недели у евреев. В этой системе используются также числительные третьего порядка (49). Семь недель между пасхой и праздником шавуот составляют \"счет снопов\" (sfirat ha-omer), которые каждый день приносили в этот отрезок времени в Иерусалимский храм. Один из еврейских праздников называется лаг ба-омер - \"33-ий сноп\", т. е. 33-ий день в этом счете, а в христианской традиции сам праздник шавуот называется \"пятидесятница\". Кроме того, каждый седьмой год считается \"субботним\" (шнат шмита), когда все сельскохозяйственные работы были запрещены, а семь таких семилетий составляли юбилей (ювель), когда долговых рабов отпускали на волю и проводилась кассация долгов. В книге Даниила (9.25) \"семьдесят седьмин\" (шавуим шивим), т. е. 10 юбилеев, употребляются для расчета времени от основания Второго Храма до пришествия мессии, а в Вавилонском Талмуде (трактат Санхедрин с. 97а-б) \"85 юбилеев\" от сотворения мира тоже определяются как время пришествия мессии.
Счет дней недели у евреев начинается с воскресенья и ведется порядковыми числительными, кроме субботы, для которой есть специальное название (шабат). При распространении семидневной недели по Римской империи такой счет сохранился на греческом Востоке, но начало недели сместилось там на понедельник. На латинском Западе, наоборот, начало недели осталось в воскресенье, но ее дням были приданы названия семи \"планет\": Солнца, Луны, Марса, Меркурия, Юпитера, Венеры и Сатурна. У германских народов имена римских богов были заменены на германские: бог войны Марс стал Тиу, Меркурий - Одином, бог грозы Юпитер - Тором, Венера - Фрейей, а Сатурн - Локи. Поэтому названия дней недели в двух близкородственных языках: карельском, следующим православной традиции, и финском, где они заимствованы из шведского - не имеют ничего общего:

русский карельский финский
понедельник enžimänärgi (первый день) Maanantai (день луны)
вторник toinärgi (второй день) Tiistai (день Тиу)
среда kolmašpäivä (третий день) Keskiviikko (середина недели)
четверг nellišpäivä (четвертый день)Torstai (день Тора)
пятница piаtinčа (пятница) Perjantai (день Фрейи)
суббота šuovatta (суббота) Lauantai (день Локи)
воскресенье pühäpäivä (святой день) Sunnuntai (день Солнца)
Обратное влияние этого процесса культурного обмена на еврейскую традицию тоже имело место. Так, планета Сатурн, которая первоначально называлась на иврите Киюн, позже получила название Шабтай - \"субботняя планета\", вслед за латинским названием субботы - Saturni dies (\"день Сатурна\").

8

Восьмеричная система числительных существовала в ныне мертвом языке юки в южной Калифорнии и в языках группы паме в северной Мексике:

Northern Pame
1 sante
2 nuji
3 rnu?
4 giriui
5 git∫'ai
6 teria
7 teriuhiŋ
8 tenhiuŋ
9 kara tenhiuŋ santa
10 kara tenhiuŋ nuji
11 kara tenhiuŋ rnup
12 kara tenhiuŋ giriu
13 kara tenhiuŋ git∫'ai
14 kara tenhiuŋ teria
15 kara tenhiuŋ teriuhiŋ
16 kanuje tenhiuŋ
17 kanuje tenhiuŋ sante
18 kanuje tenhiuŋ nuji
19 kanuje tenhiuŋ rnu?
20 kanuje tenhiuŋ giriu
21 kanuje tenhiuŋ git∫'ai
22 kanuje tenhiuŋ tiria
23 kanuje tenhiuŋ teriuhiŋ
24 karnu? tenhiuŋ
25 karnu? tenhiuŋ santa
26 karnu? tenhiuŋ nuji
27 karnu? tenhiuŋ rnu?
28 karnu? tenhiuŋ giriu
29 karnu? tenhiuŋ git∫'ai
30 karnu? tenhiuŋ tiria
31 karnu? tenhiuŋ tiriuhiŋ
32 girui tenhiuŋ

В древнем Риме существовала восьмидневная неделя - nundina. Слово это буквально значит \"девятка\", и произошло это из-за того, что дни недели римляне считали по системе инклюзивного счета, по правилам которого последний день предыдущей недели одновременно считался первым днем следующей недели. В результате, этот последний день назывался \"девятым\", хотя мы бы называли его восьмым.

9

Девятеричная система применяется в одном из диалектов языка энга на Новой Гвинее и факультативно в уэльском языке для образования числительного 18:

Enga
1 mend
2 rab
3 teb
4 kirúmend
5 juúŋk
6 togaŋk
7 karáŋk
8 tuguráb
9 tugurib
10 tuguréponjə-méndai
11 tuguréponjə-ráb
12 tuguréponjə-téb
13 tuguréponjə-gáro
Welsh
18 deunaw 2* × 9

Из-за табуирования имени Бога в еврейской традиции числа 15 и 16 пишутся в алфавитной системе цифр не как yod-hei (10+5) и йод-вав (10+6), а как тет-вав (9+6) и тет-зайн (9+7). Два еврейских праздника называются по такой буквенной записи 15-го числа двух месяцев: ту-бишват - 15 день месяца Шват (\"новый год деревьев\") и ту-биав - 15 день месяца Ав (\"день любви\").
В Центральной Америке было принято считать не только дни, но и ночи. 9 ночей составляли ночную неделю, в которой каждая ночь называлась именем одного из подземных богов. Имена этих \"владык ночи\" известны на языке нахуатль у ацтеков: бог ночи Ицтли или Тескатлипока, бог огня Шиутекутли, бог дождя Тлалок, бог гор Тепейоллотль, богиня земли Тласольтеотль, богиня воды Чальчиутликуэ, бог смерти Миктлантекутли, бог кукурузы Синтеотль, бог солнца Тонатиу. У майя известны иероглифы девяти \"владык ночи\", но не их чтения. У ацтеков ночная неделя начиналась с ночи, посвященной богу огня, а у майя - богу ночи. Комбинация ночной недели с 13-дневной дневной неделей и с семью \"планетами\" составляла 819-дневный цикл (9х13х7).

10

Десятичная система исчисления - самая распространенная в языках мира. На десятичной основе строятся числительные большинства индоевропейских (кроме кельтских), семито-хамитских, урало-алтайских, китайско-тибетских, австронезийских языков, языков банту в Африке, кечуа и аймара в Южной Америке, на-дене и алгонкинских в Северной Америке и многих других языков. До самых высоких порядков счет по десятичной системе доходит в микронезийских и в некоторых полинезийских языках, где он использовался для подсчета кокосовых орехов. В микронезийском языке нукуоро счет доходит до 10.000.000.000!

Nukuoro
10 hulu
100 lau
1.000 mano
10.000 (se)mada
100.000 (se)guli
1.000.000 (se)loo
10.000.000 (se)ngaa
100.000.000 (se)muna
1.000.000.000 (se)bugi
10.000.000.000 (se)baga

Неудивительно, что большинство цифровых систем тоже следовали этой модели. Десятичными были древнеегипетская, минойская (на Крите и позже в Микенской Греции) и лувийская (в Малой Азии) цифровые системы. Во всех них были специальные цифры для 1, 10, 100, 1.000, 10.000, а в Древнем Египте также и для 100.000 и 1.000.000. Каждая из них повторялась до 9 раз для передачи числительных больше единицы, десятка, сотни и т. д.
Хотя система цифр в шумерской клинописи была шестидесятеричной, она использовала только две цифры: 1 и 10, при помощи которых записывались все числа до 59. Кроме того, при заимствовании клинописи в семитский аккадский язык, система числительных которого построена на десятичном принципе, уже в 27 веке до н. э. была создана альтернативная десятичная цифровая система. В ней число 100 писалось как 1 МЕ-АТ или 1 МЕ (от аккадского me'atu - \"сто\"), а 1.000 - как 1 LIM (от аккадского limu - \"тысяча\"). В самой Месопотамии эта система не удержалась, и шестидесятеричная система господствовала там до конца вавилонской цивилизации, но на северо-западной периферии клинописной культуры - в Ассирии, Сирии и Малой Азии - эта система цифр прижилась и получила широкое распространение.
Десятичными были и алфавитные цифровые системы, берущие начало от западно-семитского консонантного алфавита. Буквы первого десятка в них обозначают единицы, буквы второго десятка - десятки, а буквы третьего десятка - сотни. Алфавитные системы были отчасти позиционными, поскольку те же буквы первого десятка в начальной позиции обозначали уже тысячи. При заимствовании финикийского алфавита греками, часть букв была пропущена: вав с числовым значение 6, цадик с числовым значением 90 и коф с числовым значением 100. Однако, в числовом значении эти пропущенные буквы продолжали употребляться, хотя и не совсем в том же порядке: вав, которую греки называли стигма, сохранила свое числовое значение, цадик, которую греки называли сампи, получила числовое значение 900, а коф, которую греки называли коппа, получила числовое значение 90. При создании кириллицы на базе греческого алфавита, из этих букв сохранилась только стигма, а числовые значения 90 и 900 были приданы буквам Ч и Ц. Поскольку цифровая система кириллицы следует порядку букв греческого алфавита, добавленные буквы Б и Ж не получили числового значения: буква Б - просто пропущена, а вместо Ж фигурирует буква стигма с числовым значением 6. У евреев алфавитная система цифр продолжает широко применяться для обозначения лет \"от сотворения мира\", дней лунных месяцев, пагинации книг и т. д. Причем на разговорном иврите записанные таким способом числа читаются в их буквенной передаче. Например, текущий 5770 год \"от сотворения мира\" называется без индикации тысячелетия годом таш'а - т. е. тав-шин-айн (400+300+70). Алфавитные цифровые системы также лежат в основе так называемой гематрии (от гр. геометрия) - вычисления числового значения слов. Сама эта идея базируется на доктрине неопифагоризма, стремившейся к числовой редукции всех существующих понятий. Самым известным примером такого вычисления служит \"число зверя\" 666 из Апокалипсиса (13.18), основанное, по всей видимости, на числовом значении имени Нерон Цезарь, записанного еврейским консонантным письмом: nrwn qsr - 50+200+6+50+100+60+200=666.
Китайская цифровая система комбинировала принципы древних средиземноморских и алфавитных цифровых систем. В Китае применяли десять специальных знаков для единиц, как в алфавитных системах, но для следующих порядков существовало по одному знаку для каждого порядка, как в древне-средиземноморских системах. При этом знаки для десятков, сотен, тысяч и т. д. не повторялись до 9 раз, а комбинировались с различными множителями. Так что, например, число 5742 записывалось как 5х1.000+7х100+4х10+2.
Такой же была по-видимому числовая система Древней Индии, лежащая в основе современной позиционной индо-арабской системы записи чисел. Десять знаков для чисел первого десятка появляются там впервые в надписях царя Ашоки в третьем веке до н. э., знак для 0 был изобретен при династии Гупта в четвертом веке н. э., но сама позиционная десятичная система была разработана уже в мусульманской Индии в девятом веке. Арабы разнесли ее по всему Ближнему Востоку. До Европы эта система добралась в 13 веке. Значение этой системы состояло не только в удобстве вычислений, но и в переходе от римской инклюзивной системы счета, в которой последняя единица первого слагаемого одновременно считалась первой единицей второго слагаемого, к современной эксклюзивной системе. Индо-арабская позиционная система записи чисел произвела в Европе огромное впечатление. Особенно поражающим воображение была возможность бесконечного счета при помощи знака для 0. Около 1290 г. Моисей из Леона придал в Испании этой цифровой системе теологическую трактовку в своей книге Zohar (\"Сияние\"), лежащей в основе каббалы. Десять чисел первого порядка объявлены там десятью сфирот - \"исчислений\" Божественной сущности. Соответствующая 0 десятая сфира называется эйн соф - \"бесконечность\". В действительности, разумеется, десятичный характер индо-арабской позиционной системы объясняется всего лишь тем, что все ее создатели говорили на языках с десятичной системой формирования числительных.

12

Двенадцатеричная система встречается в языке чемпанг в Непале, в языке махль на острове Миникой в Индии и в языках так называемого \"среднего пояса\" Нигерии: джанджи, гбири-нигару и одном из диалектов (нимбия) языка гвандара. В последнем двенадцатеричная система последовательно применяется до третьего порядка (144):

Nimbia
Number Reading Meaning

1 da 1
2 bi 2
3 ugu 3
4 furu 4
5 biyar 5
6 shide 6
7 bo'o 7
8 tager 8
9 tanran 9
10 gwom 10
11 kwada 11
12 tuni 12
13 tuni mbe da 12 and 1
24 gume bi 12* × 2
25 gume bi ni da (12* × 2) and 1
36 gume ugu 12* × 3
37 gume ugu ni da (12* × 3) and 1
48 gume furu 12* × 4
49 gume furu ni da (12* × 4) and 1
60 gume biyar 12* × 5
61 gume biyar ni da (12* × 5) and 1
72 gume shide 12* × 6
73 gume shide ni da (12* × 6) and 1
84 gume bo'o 12* × 7
85 gume bo'o ni da (12* × 7) and 1
96 gume tager 12* × 8
97 gume tager ni da (12* × 8) and 1
143 gume kwada ni kwada (12* × 11) and 11
144 wo 144 (12x12)

Двенадцатеричная система в современных английском и немецком языках - вторичного происхождения - в древнегерманском языке ее не было. По-видимому, она возникла там под влиянием обычая считать \"дюжинами\". Третий порядок называется в этом счете гросс (144), а четвертый - масса (1728). Сам же этот обычай возник, по всей видимости, на базе двенадцатеричного характера большинства европейских единиц измерения. Произошло это, в свою очередь, из-за удобства такого счета для всевозможных ежемесячных платежей. Так, например, римская унция значила в числе прочего 1/12%, т. е. учетную ставку в 1% годовых.
На двенадцатеричной системе основано деление суток на 24 часа: 12 часов дня и 12 часов ночи. С изобретением механических часов эти отрезки времени стали равными, но римский час, принятый и в Средние Века, был длиннее летом и короче зимой, в зависимости от продолжительности дня от рассвета до заката.

13

Тринадцатеричная система, строго говоря, нигде и никогда не применялась. Но, коль скоро, я упомянул здесь семи-, восьми- и девятидневные недели, нельзя пройти мимо и тринадцатидневной недели у древних майя. В комбинации с двадцатидневным месяцем эта неделя составляла 260-дневный цикл (13х20) цолькин - единственный элемент культуры майя, оставшийся в ходу у современных индейцев Мексики и Гватемалы.

15

Пятнадцатеричная система числительных у аборигенов Австралии вотджобаллук и в языке хули на Новой Гвинее основана на обычае считать по частям тела от пальцев руки до головы, широко распространенном в этом регионе:

Wotjoballuk<.i>
число название буквальный перевод значение
1 Giti mŭnya \"малая рука\" мизинец
2 Gaiŭp mŭnya \"одна рука\" безымянный палец
3 Marŭng mŭnya \"сосна руки\" средний палец
4 Yolop-yolop mŭnya \"цель руки\" указательный палец
5 Bap mŭnya \"мать руки\" большой палец
6 Dart gŭr \"пустота нижней части руки\" ладонь
7 Boibŭn \"малое утолщение\" нижняя часть руки
8 Bun-darti \"пустое место\" локоть
9 Gengen dartchŭk \"повязка на верхней части руки\" бицепс
10 Borporŭng плечо
11 Jarak-gourn \"тростник шеи\" шея
12 Nerŭp wrembŭl \"конец уха\" мочка уха
13 Wŭrt wrembŭl'' \"над ухом\" висок
14 Doke doke \"движение\" верхний край черепа
15 Det det \"тяжесть\" макушка

Пятнадцатеричная система служит для образования числительных до третьего порядка (225) в языке хули на Новой Гвинее:

Huli
Number Reading Meaning<.i>
1 mbira 1 obj.
2 kira 2 obj.
3 tebira 3* obj.
4 maria 4 obj.
5 duria 5* obj.
6 waragaria 6 obj.
7 karia 7 obj.
8 halira 8 obj.
9 dira 9 obj.
10 pira 10 obj.
11 bearia 11 obj.
12 hombearia 12 obj.
13 haleria 13 obj.
14 deria 14 obj.
15 nguira 15 obj.
16 nguira-ni mbira 15 obj. and 1 obj.
30 ngui ki 15 × 2
31 ngui ki, ngui tebone-gonaga mbira (15 × 2) + (1 obj. of the 3rd 15)
45 ngui tebo 15 × 3
46 ngui tebo, ngui mane-gonaga mbira (15 × 3) + (1 obj. of the 4th 15)
60 ngui ma 15 × 4
61 ngui ma, ngui dauni-gonaga mbira (15 × 4) + (1 obj. of the 5th 15)
75 ngui dau 15 × 5
76 ngui dau, ngui waragane-gonaga mbira (15 × 5) + (1 obj. of the 6th 15)
90 ngui waraga 15 × 6
91 ngui waraga, ngui kane-gonaga mbira (15 × 6) + (1 obj. of the 7th 15)
225 ngui ngui 15×15

Система счета лет по 15-летним циклам - индикциям впервые появилась в Египте в 297 г. и распространилась по всей Римской империи с 312 г. Она была основана на 15-летней разверстке налогов, введенной Диоклетианом в конце третьего века. Такой счет лет был широко распространен также и в Средние Века, а в канцелярии Священной Римской империи он просуществовал вплоть до ее роспуска в 1806 г. Индикция начиналась 1-го сентября, и отсюда ведет начало византийский Новый Год, принятый в России до 1700 г.
Не исключено, что пятнадцатеричная система числительных первого порядка в современном испанском языке ведет начало от этой 15-летней разверстки налогов:

Spanish: (11) onze, (12) doce, (13) trece, (14) catorce, (15) quince, (16) diez y seis, (17) diez y siete, (18) diez y ocho, (19) diez y nueve.
16
На той же системе счета по частям тела, что и пятнадцатеричная система вотджобаллук, построена шестнадцатеричная система числительных у австралийских аборигенов вурунджери:

Wurundjeri
число название буквальное значение часть тела
1 Būbūpi-mŭringya \"дитя руки\" мизинец
2 Būláto-rável \"немного больше\" безымянный палец
3 Būláto \"еще больше\" средний палец
4 Urnŭng-mélŭk (указывающий)\" в сторону личинок\" (живущих в дуплах эвкалипта) указательный палец
5 Babŭngyi-mŭringya \"мать руки\" большой палец
6 Krauel запястье
7 Ngŭrŭmbul \"вилка\" точка расхождения лучевого сухожилия
8 Jerauabil лучевые мышцы
9 Thánbŭr \"круглое место\" локоть
10 Berbert \"браслет из шкуры опоссума\" (указывает на место его ношения) бицепс
11 Wūling плечо
12 Krakerap \"место мешка\" ключица
13 Gūrnbert \"ожерелье\" шея
14 Kŭrnagor \"конец холма\" мочка уха
15 Ngárabŭl \"гребень холма\" боковая часть черепа
16 Bŭndale \"место пореза\" (в знак траура) макушка

Сам счет здесь, как видим, - несколько иной, а части тела названы не прямо, а фигуративно.
По шестнадцатеричной системе строятся и числительные первого порядка в современном французском языке:

French: onze(11), douze(12), treize(13), quatorze(14), quinze(15), seize(16), dix-sept(17), dix-huit(18), dix-neuf(19).

18

Число 18 пишется в еврейской алфавитной системе как йод-хет (10+8). Прочитанное в обратном порядке, это буквосочетание составляет слово хай - \"живой\". На этом основан еврейский обычай дарить на семейные торжества (свадьбы, бар-мицвы, обрезание) и в пользу благотворительности деньги в суммах, кратных 18 - обычно 180 шекелей, т. е. 10 раз \"живой\". Число 18 в буквенной записи принято также носить на шее в виде медальона.

20

Второе место после десятичной по распространенности среди языков мира занимает двадцатеричная система. Она реконструируется для шумерского языка в формировании числительных, обозначающих некоторые десятки между 20 и 60:

Sumerian
20 niš
40 nimin (niš- min = 20x2)
50 ninnu (niš-min-u = 20x2+10)

Среди живых языков Европы двадцатеричная система встречается в баскском языке, откуда она была, скорее всего, заимствована во все кельтские языки, а из них попала во французский, датский, албанский и один из диалектов словенского:

Basque
20 hogei 20
30 hogei ta hamar 20 and 10
40 berrogei 2* × 20*
50 berrogei ta hamar (2* × 20*) and 10
60 hirurogei 3 × 20*
70 hirurogei ta hamar (3 × 20*) and 10
80 larrogei 4* × 20*
90 larrogei ta hamar (4* × 20*) and 10

Scotish Gaelic
20 fichead 20
30 deich air fhichead 10 on 20*
40 dà fhichead 2 × 20*
50 dà fhichead is a deich (2 × 20*) and 10
60 trì fhichead 3 × 20*
70 trì fhichead is a deich (3 × 20*) and 10
80 ceithir fhichead 4 × 20*
90 ceithir fhichead is a deich (4 × 20*) and 10

French
80 quatre-vingts 4 × 20s
90 quatre-vingt-dix 4 × 20 + 10
91 quatre-vingt-onze 4 × 20 + 11
92 quatre-vingt-douze 4 × 20 + 12
93 quatre-vingt-treize 4 × 20 + 13
94 quatre-vingt-quatorze 4 × 20 + 14
95 quatre-vingt-quinze 4 × 20 + 15
96 quatre-vingt-seize 4 × 20 + 16

Danish
Number Original Abbreviation Meaning

50 halvtredsindstyve halvtreds halv tred sinds tyve
½ 3rd times 20
(3rd ½ = 2½)
60 tresindstyve tres tre sinds tyve
3 times 20
70 halvfjerdsindstyve halvfjerds halv fjerd sinds tyve
½ 4th times 20
(4th ½ = 3½)
80 firsindstyve firs fir sinds tyve
4 times 20
90 halvfemsindstyve halvfems halv fem sinds tyve
½ 5th times 20
(5th ½ = 4½)

Albanian
20 njëzet (1x20)
40 dyzetë (2x20)
Resian dialect of Slovenian language
60 trïkart dwisti (3×20)
70 trïkart dwisti nu dësat (3x20 + 10)
80 štirikrat dwisti (4×20)
90 štirikrat dwisti nu dësat (4×20 + 10).

По двадцатеричной системе строятся числительные в языках мунда в Северной Индии, в большинстве языков Северного Кавказа (кроме аварского) в грузинском языке, в палеоазиатских языках Чукотки и Камчатки и в языке айну на острове Хоккайдо:

Georgian
20 otsi 20
30 otsdaati 20* and 10
40 ormotsi 2* × 20*
50 ormotsdaati (2* × 20*) and 10
60 samotsi 3* × 20*
70 samotsdaati (3* × 20*) and 10
80 otkhmotsi 4* × 20*
90 otkhmotsdaati (4* × 20*) and 10

Ainu
10 wanpe 10 obj.
20 hotnep 20 obj
30 wanpe etu hotnep 10 obj. to 2 × 20 obj.
40 tu hotnep 2 × 20 obj.
50 wanpe ere hotnep 10 obj. to 3 × 20 obj.
60 re hotnep 3 × 20 obj.
70 wanpe eine hotnep 10 obj. to 4 × 20 obj.
80 ine hotnep 4 × 20 obj.
90 wanpe easikne hotnep 10 obj. to 5 × 20 obj.
100 asikne hotnep 5 × 20 obj.

В Африке эта система характерна для языка йоруба в Нигерии:

Yoruba
20 ogun 20
40 ogoji 20* × 2*
60 ogota 20* × 3*
80 ogorin 20* × 4*
100 ogorun 20* × 5*
200 ogorun meji (20* × 5*) × 2
300 ogorun meta (20* × 5*) × 3
400 ogorun merin (20* × 5*) × 4
500 ogorun marun (20* × 5*) × 5
600 ogorun mefa (20* × 5*) × 6
700 ogorun meje (20* × 5*) × 7
800 ogorun mejo (20* × 5*) × 8
900 ogorun mesan (20* × 5*) × 9

Среди языков Новой Гвинеи двадцатеричная система систематически комбинируется с двоичной и пятеричной в языке аламблак:

Alamblak
1 rpat 1
2 hosf 2
3 hosfirpat 2 and 1
4 hosfihosf 2 and 2
5 tir yohtt 5 exact
6 tir yohtti rpat (5 exact) and 1
7 tir yohtti hosf (5 exact) and 2
8 tir yohtti hosfirpat (5 exact) and (2 and 1)
9 tir yohtti hosfihosf (5 exact) and (2 and 2)
10 tir hosf 5 × 2
20 yima yohtt 20 exact
30 yima yohtti tir hosf (20 exact) and (5 × 2)
40 yima hosf 20 × 2
50 yima hosfi tir hosf (20 × 2) and (5 × 2)
60 yima hosfirpat 20 × (2 and 1)
70 yima hosfirpati tir hosf (20 × (2 and 1)) and (5 × 2)
80 yima hosfihosf 20 × (2 and 2)
90 yima hosfihosfi tir hosf (20 × (2 and 2)) and (5 × 2)
100 yima tir yohtt 20 × (5 exact)

В Северной Америке двадцатеричная система распространена в эскимосско-алеутских языках, но лишь в Центральной Америке по двадцатеричной системе строятся числительные более высоких порядков, вплоть до шестой:

Maya
20 kal
400 bak
8.000 pic
160.000 calab
3.200.000 kinchil
64.000.000 alau
Nahuatl (Aztec)
20 cempoalli (1 × 20),
400 centzontli (1 × 400),
8.000 cenxiquipilli (1 × 8,000),
160.000 cempoalxiquipilli (1 × 20 × 8,000),
3.200.000 centzonxiquipilli (1 × 400 × 8,000)
64.000.000 cempoaltzonxiquipilli (1 × 20 × 400 × 8,000)

Две двадцатеричные позиционные системы цифр были созданы в той же Центральной Америке в середине первого тысячелетия до н. э.: сапотекская и миштекская. Сапотекская цифровая система уже упоминалась в связи с пятеричной системой исчисления, поскольку в ней использовались цифры для единицы (точка) и пяти (горизонтальная черта). В цифровой системе соседнего и близко родственного сапотекам народа миштеков употреблялась только одна цифра - точка, которая повторялась до 19 раз для записи числительных первого порядка в двадцатеричной системе. Обе системы пользовались также знаком для 0 в форме изображения пустой раковины, и в обеих число 20 писалось как точка и 0 (1+0). Это были старейшие в мире цифровые позиционные системы, употреблявшие знак 0. Как уже упоминалось, сапотекская цифровая система распространилась к ольмекам, а от них - к майя. Миштекская же система позже перешла к ацтекам в Центральной Мексике.
На двадцатеричной системе был также основан календарь майя. Солнечный год в нем состоял из 18 20-дневных месяцев, называвшихся виник (\"человек\"), 20-летие называлось катун, 400 лет - бактун, 8.000 лет - пиктун, а 160.000 лет - калабтун. В 2012 г. закончится 13-й бактун летоисчисления майя, что уже вызвало некоторые эсхатологические ожидания, а в 4772 г. закончится текущий пиктун.

27

Двадцатисемеричная система числительных применяется в двух языках Новой Гвинеи: телефоль и оксапмин:

Оksapmin
(1) tip^na - мизинец
(2) tipnarip - безымянный палец
(3) bum rip - средний палец
(4) h^tdip - указательный палец
(5) h^th^ta - большой палец
(6) dopa - запястье
(7) besa - нижняя часть руки
(8) kir - локоть
(9) tow^t - верхняя часть руки
(10) kata - плечо
(11) gwer - шея
(12) nata - ухо
(13) kina - глаз
(14) aruma - нос
(15) tan-kina, (16) tan-nata, (17) tan-gwer, (18) tan-kata, (19) tan-tow^t, (20) tan-kir, (21) tan-besa, (22) tan-dopa, (23) tan-tip^na, (24) tan-tipnarip, (25) tan-bum rip, (26) tan-h^tdip, (27) tan-h^th^ta - те же части тела с префиксом \"правый\" (tan), считаемые в обратном порядке, от глаза до запястья (22), а затем в том же порядке, что и на левой руке - от мизинца до большого пальца.

Как видим, двадцатисемеричная система исчисления у этих народов строится на той же практике счета по частям тела, что и пятнадцатеричная система у народа хули на той же Новой Гвинее, хотя сам счет не совпадает в деталях. Поэтому простых числительных первого порядка здесь только 14, а повторяются при повторном счете только 13, поскольку нос занимает ассиметричную позицию.

40

Сороковичная система реконструируется для древнеегипетского языка, где были специальные слова для названий десятков от 10 до 40, а десятки от 50 до 90 обозначались множественным числом числительных от 5 до 9:

Egyptian
10 mdw
20 db‛ty
30 m‛b;
m 40 h
50 dỉyw (pl. 5)
60 śỉśyw (pl. 6)
70 śfhyw (pl. 7)
80 hmnyw (pl. 8)
90 pśdyw (pl. 9)

Возможно, эта система как-то связана с 40-дневным процессом мумификации трупа (Бытие 50.3).
Сороковичная система употреблялась также в ныне мертвом кельтском языке острова Мэн:

Manx
40 daeed 40
50 jeih as daeed 10 and 40

В некоторых живых славянских языках существуют специальные слова для числительного 40: \"сорок\" во всех восточнославянских языках, meru в словацком и mérōv в сербском. По-видимому, это явление как-то связано со старорусскими мерами объема кратными 40: пуд в 40 фунтов, бочка в 40 ведер. В русском языке употребляется также числительное третьего порядка в этой системе: \"сорок сороков\".

60

В шумерском языке шестидесятеричная система служила для образования числительных до четвертого порядка:

Sumerian
60 giš
120 gešmin (60x2)
180 gešeš (60x3)
240 gešlimmu (60x4)
300 gešia (60x5)
360 gešaš (60x6)
420 gešumun (geš-imin = 60x7)
480 gešussu (60x8)
540 gešilimmu (60x9)
600 gešu (60x10)
3.600 šar
216.000 geššar (60x3600)

Среди живых языков эта система употребляется во французском и в языках экари и мони на Новой Гвинее:

French
60 soixante 60
70 soixante-dix 60 + 10
71 soixante-et-onze 60 and 11
72 soixante-douze 60 + 12
73 soixante-treize 60 + 13
74 soixante-quatorze 60 + 14
75 soixante-quinze 60 + 15
76 soixante-seize 60 + 16

Moni (Dzjonggoenaoe clan)
60 mendó heló
70 mendó heló àpantó àgi
80 mendó wi
90 mendó wi àpantó àginé
100 mendó ili

Шестидесятеричной была и позиционная шумеро-вавилонская система записи чисел. Как уже упоминалось, для записи чисел до 60 в ней использовались две цифры: вертикальный клин для единиц и косой клин для десятков. Существовали также специальные цифры для чисел третьего (3.600) и четвертого (216.000) порядков: ромб и перечеркнутый ромб. Число 60 же записывалось как 1 в первой позиции. Это была древнейшая позиционная система, но она имела один существенный недостаток: отсутствие знака для 0. В результате, запись 60 ничем не отличалась от единицы, 120 - от 2 и т. д. Различить их можно было только по контексту. В какой-то мере интервал использовался в значении 0. Так, число 122 записывалось как 1+1 1+1 с интервалом, а 4 - как 1+1+1+1 без интервала.
В эллинистическую эпоху вавилонскую шестидесятеричную систему заимствовали греческие математики, которые добавили к ней и знак для 0, писавшийся в форме трех маленьких кружков, соединенных горизонтальной чертой. Это была первая цифровая система с 0 в Старом Свете, но использовалась она очень ограниченно: только для астрономических вычислений. От этой эллинистической шестидесятеричной системы сохранилось деление круга на 360 градусов, деление часа на 60 минут и минуты - на 60 секунд.
Некоторые общие наблюдения
1. Обилие систем исчисления на Новой Гвинее не должно удивлять: около половины всех живых языков мира сосредоточено на этом острове.
2. Большинство систем образования числительных комбинирует несколько систем исчисления.
3. Цифровые системы, как правило, следуют за языком, хотя при культурном заимствовании такая связь может быть потеряна.
4. Системы измерения, наоборот, могут влиять на язык!!!!



 

Серия сообщений "Математика":
Часть 1 - Число Пи
Часть 2 - Греко-латинский   квадрат

Часть 3 - Парадокс Хаусдорфа-Банаха-Тарского
Часть 4 - Системы исчисления
Часть 5 - Семь раз отмерь – один раз отрежь!
Часть 6 - Фрактальность натуральных чисел

Метки:  

Процитировано 2 раз

virena2008   обратиться по имени Спасибо. Четверг, 20 Сентября 2012 г. 19:14 (ссылка)
Очень познавательно. Возможно у Майя в ходу числа 13 и 20 были каким-то синтетическим календарём.
Ответить С цитатой В цитатник
 

Добавить комментарий:
Текст комментария: смайлики

Проверка орфографии: (найти ошибки)

Прикрепить картинку:

 Переводить URL в ссылку
 Подписаться на комментарии
 Подписать картинку