И.Кеплер "О шестиугольных снежинках"

http://prarod.forum2x2.ru/t49-topic#6203 (красным выделил Админ Виктор)
 

Елена пишет:Нам Админ советовал почитать И.Кеплера "О шестиугольных снежинках"
Может, это кому-то поможет.
Всё размещать, на мой взгляд, нецелесобразно.

Выделю три основных момента.
1- Кеплер замечательно и доказательно объясняет, что формы куба и октаэдра "происходят" из самой трёхмерности.

Какую форму имеют горошины?
ведь они размещены в продолговатом стручке в определенном порядке и испытывают сжатие с двух сторон. Что же касается круглых зерен в плодах граната, то вначале у них имеется больше свободного пространства, каждое зернышко в отдельности легко проникает между трех зернышек соседнего слоя (такое проникновение облегчается тем, что зерна имеют круглую форму), а жидкость из тесного места заполняет освободившееся пространство. Если насыпать некоторое количество одинаковых по величине шариков из мягкого материала в какой-нибудь круглый сосуд и начать равномерно сдавливать его со всех сторон обручами, то большинство шариков примет форму ромбических тел, в особенности если, предварительно встряхнув сосуд, заставить шарики перекатиться и расположиться как можно более тесно. Если шарики выстроились вдоль прямой и их относительное расположение нельзя ничем нарушить, то после сжатия они превратятся в кубы.
В общем случае одинаковые по величине шары, собранные в каком-нибудь сосуде, располагаются в нем двумя способами - в соответствии с двумя способами их расположения на каждой плоскости.
Если собрать равные по величине шары, разбросанные по горизонтальной плоскости, так, чтобы они касались друг друга, то шары расположатся либо в вершинах равносторонних треугольников, либо в вершинах квадратов. В первом случае каждый шар окружен шестью другими, во втором - четырьмя. В обоих случаях характер касания для всех шаров, кроме наружных, одинаков. Расположение в вершинах правильного пятиугольника не позволяет шарам сохранять равновесие, расположение в вершинах правильного шестиугольника распадается на несколько треугольных. Таким образом, как я и говорил, на плоскости существуют лишь два расположения.




Рис. 1
Итак, если ты перейдешь теперь к построению плотнейшей пространственной упаковки шаров и для этого станешь накладывать одно на другое плотнейшие расположения шаров на плоскости, то возникнут либо либо квадраты A, либо треугольники B (рис. 1). Если получились квадраты, то либо каждый шар верхнего ряда будет стоять на шаре нижнего ряда, либо, наоборот, шары верхнего ряда расположатся в углублениях между четырьмя шарами нижнего ряда. В первом случае каждый шар касается четырех соседних шаров из того же ряда, одного шара сверху и одного шара снизу, то есть всего шести шаров. Это - кубическое расположение шаров, и при сжатии образуются кубы, но оно не является плотнейшим расположением. Во втором случае каждый шар, помимо четырех соседних шаров, расположенных в той же плоскости, касается еще четырех шаров над ним и четырех шаров под ним, то есть всего 12 шаров. При сжатии из шаров получаются ромбические тела. Это расположение очень напоминает октаэдр и пирамиды. Эта укладка шаров плотнейшая: при любом другом расположении в тот же сосуд не удается добавить шаров. С другой стороны, если ряды шаров на плоскости расположены в треугольном порядке, то при построении тела либо каждый шарик верхнего ряда стоит на шарике нижнего ряда, причем и в этом случае упаковка не является плотнейшей, либо каждый шарик верхнего ряда располагается в углублении между четырьмя шариками нижнего ряда. В первом случае каждый шар касается шести соседних шаров, расположенных в той же плоскости, одного шара над собой и одного шара под собой, то есть всего восьми шаров. Расположение напоминает по внешнему виду призму, и при сжатии шары превращаются в столбики с шестью четырехугольными боковыми гранями и двумя шестиугольными основаниями. Во втором случае получается то же и самое, что получалось ранее при квадратном расположении шаров.

 

 

Елена пишет:Пусть B (рис. 2) - три попарно соприкасающихся шара. Положим на них сверху еще один шар A. Пусть C - другая группа из шести шаров, D - еще одна группа из 10 шаров и E - группа из 15 шаров. Меньшую группу всегда клали на большую, чтобы получилась пирамида. При таком наложении слоев каждый из верхних слоев располагается между тремя нижними. Но если извлекать по одному шару из перевернутой пирамиды, обращенной вверх не вершиной, а целой гранью, то четыре шара под ним всякий раз будут располагаться в квадратном порядке. Кроме того, как и прежде, один шар касается 12 других: шесть соседних шаров, расположенных в той же плоскости, три шара вверху и три внизу. Таким образом, в плотнейшей пространственной упаковке треугольное расположение шаров не может встречаться без квадратного, и наоборот.

Рис. 2
Чем обусловлена форма зерен граната?
Отсюда следует, что зерна граната сдавливаются в ромбические тела не только в силу свойств, присущих материалу, но и вследствие одновременного влияния роста зерен. Круглые зерна не могут без вреда для себя долго выдерживать сжатие и, смещаясь, заставляют вытесненное зерно проникать в промежутки между тремя или четырьмя зернами соседнего слоя.
Пчелиные соты подчиняются иной закономерности. Ведь пчелы не скапливаются беспорядочно, как зерна в гранате, а по своему усмотрению выстраиваются рядами так, что головы всех пчел обращены либо в одну, либо в другую, противоположную первой сторону, а задними концами своих тел пчелы упираются друг в друга.
Правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь.

Плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Пчелы же стремятся строить как можно более вместительные соты, чтобы запасти побольше меда.
Те же соображения применимы и к трехмерному пространству, если воспользоваться ими следующим образом. Трехмерное пространство можно заполнить, не оставляя пустых мест, лишь кубами и правильными ромбическими телами, но ромбическое тело имеет больший объем, чем куб. Однако одного этого соображения недостаточно. Действительно, если пчел интересует лишь емкость сот, то почему они не строят себе круглое гнездо, что заставляет их использовать крохотные участки пространства, как будто во всем улье не остается свободного места? Наиболее правдоподобна следующая (вторая) причина, хотя, в силу приведенных выше соображений, ее нельзя считать достаточной: нежным тельцам пчел удобнее покоиться в ячейке, имеющей форму геометрической фигуры с большим числом затупленных углов, которая приближается к сфере, чем в кубе с его небольшим числом сильно выступающих вершин и плоским дном, не соответствующим форме тельца пчелы.
Наиболее существенная причина, по которой правильные ромбические формы встречаются в пчелиных сотах.
К этому следует добавить третью причину: объем работы сократится, если две пчелы всегда будут возводить одну общую стенку. Кроме того, плоские перегородки обладают большей прочностью и позволяют сотам оставаться в целости, чем отдельные круглые ячейки, которые легко раздавить.
Причина, по которой цветы имеют по пять лепестков.Наоборот, если спросят, почему у всех деревьев и кустарников или по крайней мере у большинства из них цветы, распускаясь, приобретают пятиугольную форму, то есть имеют по пяти лепестков (у яблонь и груш эта форма цветков соответствует также строению плода, основанному на числе пять или на родственном числе 10, поскольку внутри плода семена находятся в пяти камерах и заключены между 10 перегородками, что также наблюдается у огурцов и тому подобных овощей и фруктов), то я отвечу, что здесь рассуждения о красоте и свойствах фигуры, в которых проявляется душа растения, были бы вполне уместны. Свои соображения по этому поводу я изложу ниже.
Правильные тела, основанные на числе пять, и их возникновение из божественных пропорций.
Существуют два правильных тела, додекаэдр и икосаэдр, из которых первое ограничено правильными пятиугольниками, а второе - равносторонними треугольниками, но прилегающих друг к другу так, что образуются некие пятигранные пространственные углы. Построение этих тел и в особенности самого пятиугольника невозможно без той пропорции, которую современные математики называют божественной. Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности.

 

 

Елена пишет:Мое мнение о таком Ничто.

Приведенные выше соображения стали как бы отцом, а это наблюдение - как бы матерью следующего моего мнения. Шестиугольные звездочки возникают при падении трех опущенных диаметров, соединенных в одной точке так, что концы их равномерно распределяются по окружности, и опускаются на землю лишь тремя опущенными лучами, в то время как три других луча, служащие продолжениями первых, остаются приподнятыми да тех пор, пока лучи, на которые опирается звездочка, не разогнутся и другие лучи, торчащие вверх, не опустятся на ту же плоскость в промежутках между первыми тремя лучами. Сначала я рассмотрю это утверждение в целом и лишь затем проверю, правильно ли оно, чтобы его безосновательность, если таковая обнаружится, не помешала моему намерению сказать несколько слов о таком Ничто.
Я исхожу из того, что какова бы ни была причина появления у снежинок шести лучей, она должна действовать одинаково по всем направлениям. Например, если шесть лучей обусловлены холодом, то холод должен окружать все частицы пара, отстоя от них на одинаковых или почти одинаковых расстояниях. Если причину их появления надлежит искать во внутреннем тепле, то оно должно также действовать из одного и того же центра одинаково по всем направлениям на сфере.
Однако само по себе это замечание не решает вопрос, а лишь по-иному ставит его. Ведь оно ее объясняет, почему из одного центра всегда возникают не пять и не семь, а именно шесть пушистых лучей.
Если ты спросишь математика, в какой фигуре три диаметра пересекаются в одной точке ортогонально, или в виде двойного креста, то математик ответит: в октаэдре, противоположные вершины которого соединены. Но октаэдр имеет именно шесть вершин. Как же случается что падающий снег, прежде чем стать плоским, тремя своими опушенными диаметрами, расположенными под прямыми углами друг к другу, образует остов октаэдра (если концы соседних лучей соединить 12 отрезками прямых, то получится октаэдр)?
По какой причине на этих трех опушенных лучах пар сгущается раньше, чем на всей сфере?
Я могу предложить некое объяснение, согласно которому так происходит в силу необходимости, диктуемой свойствами вещества. Правда, мое объяснение исходит из некоего предположения, еще более удивительного, чем то, что подлежит объяснению. Однако я не могу не заметить, что и сравнение многих ошибочных заключений способно рождать истину. Предположим, что пар, едва почувствовав проникающий в него холод, замерзает и превращается в шарики определенной величины. Такое предположение не противоречит здравому смыслу. Ведь капля - наименьшее естественное, количество воды, поэтому для того, чтобы вода не растекалась под действием своего веса, ее необходимо разделить на количества, которые меньше капли. Нетрудно допустить, что взятому в определенном количестве пару свойственна некая неподатливость, позволяющая ему сопротивляться холоду. Это количество пара мы условимся называть воображаемой каплей.



Рис. 3
Предположим далее, что эти воображаемые шарики соприкасаются в определенном порядке, образуя квадратное расположение на плоскости и кубическое расположение в пространстве, о которых говорилось выше. Каждый шарик касается тогда шести других. Мы можем изобразить на плоскости лишь четыре из них (рис. 3) и мысленно представить себе один шарик сверху и один шарик снизу. Коль скоро это установлено и предполагается впредь, холод проникает через промежутки между шарами, и шарики от одной точки касания до другой, ей противоположной, защищены от холода. Поэтому сгущение пара происходит лишь по направлению к центрам шариков, но так, будто оно происходит и по направлению к диаметрам, соединяющим точки касаний, которые сами защищены от холода.
Однако справедливо будет спросить, какая же сила располагает шарики в прямоугольном порядке?
Если бы они не могли располагаться иначе под влиянием свойств, присущих материалу, то вопрос был бы исчерпан. Однако, как говорилось выше, свойства материала допускают два других расположения шариков. Кроме того, все три расположения могут перемешиваться, приводя к самым различным расположениям.
Может быть, причину такого расположения шариков следует видеть в том, что лишь при нем свойства расположения одинаковы по всем направлениям и точки касания распределены равномерно, в то время как при других расположениях этого не происходит? Ведь если каждый отдельный шар касается 12 других, то, как показано выше, промежутки между шарами имеют попеременно то три, то четыре вершины. Здесь же они все имеют по четыре вершины. Там некие два диаметра, соединяющие попарно точки касания, пересекаются под прямым углом в то время как четыре остальных диаметра этим свойством не обладают. Здесь же все три диаметра пересекаются одинаковым образом и любые два из них образуют прямой угол. Там, если соединить точки касания отрезками прямых, получится кубооктаэдр, здесь же - октаэдр внутри каждого шарика.
Отсюда понятно преимущество, которым прямое расположение шариков обладает перед косым. Однако остается невыясненной причина, по которой шарики предпочитают располагаться именно в этом порядке. Быть может, их вынуждает к этому холод? Но каким образом?
Ведь, холод либо приводит к сгущению вещества, либо проникает в него там, где в веществе зияют поры или оно сопротивляется слабее. Чтобы предоставить более обильную пищу для размышлений, скажу иначе: холод, опускающийся отвесно к земле, мог бы служить причиной, по которой шарики располагаются в глубину вдоль прямых; но что заставляет их располагаться вдоль прямых в поперечных направлениях?
Итак, остается лишь предположить, что кубическое расположение капель, если только оно действительно кубическое, то есть если наше Ничто есть Нечто, обусловлено внутренней теплотой пара. Однако на той стадии, которой мы достигли в своих рассуждениях, безразлично, сама ли теплота придает каждой капле форму октаэдра или она разделяет все вещество на упорядоченные ряды звездочек, а распределение вещества внутри отдельных шариков определяется общим внешним порядком. Однако ни в каком другом случае расположение шаров не может оставаться неизменным, поскольку различные возмущения могут легко нарушить его.
Но, как мы и предполагали ранее, имеются основания считать, что отдельные капли могут выстраиваться в определенном порядке сами, без прикосновений извне. Ведь если бы форма отдельных капель определялась бы относительным расположением и касаниями множества капель, то все звезды по форме были бы почти одинаковыми, в то время как в действительности они значительно отличаются по величине. И даже в строении многих звездочек можно заметить много необычного.

 

Елена пишет:Понятно прямое происхождение куба и октаэдра из трёхмерности. Тогда базовыми фигурами для двухмерности будут квадрат и ромб, а крест- самый простой символ 2-х мерности.


2 вывод.
Из всех причин, по которым снежинка может иметь шестиугольную форму, Кеплер как основную выделяет некую формообразующую силу, которая присуща Земле:
«…причина свойственной снегу шестиугольной формы кроется в действующем начале»
«Поскольку внешняя причина - холод - сделать этого не может, то должна быть какая-то внутренняя причина, либо сопутствующая пару, либо присущая ему в той или иной степени»

«…в теле Земли существует некая формообразующая сила, носителем которой является пар, подобно тому, как человеческая душа является носителем духа. Поэтому нигде не встречается пар, ставший, как принято говорить, тем, что он есть (иначе говоря, чистым паром), без участия некоей теплоты. Та же теплота поддерживает пар, позволяя ему оставаться паром. Следовательно, пар неотделим от некоего формообразующего начала, называемого также творящей теплотой.»

«…Что же касается силы Земли, то она сама по себе едина и всюду одна и та же, но разделяется по телам, растет вместе с телами и в них и в зависимости от внутренних свойств вещества строит ту или иную внешнюю форму»

3 вывод. Формообразующую силу Земли Кеплер считает сопричастной шестиугольнику.
«Может быть, наконец, сама формообразующая природа в своей глубочайшей сущности сопричастна правильному шестиугольнику?»
«В пользу пятой причины свидетельствуют другие произведения все той же формообразующей силы, a именно кристаллы. Все они имеют шестиугольную форму, хотя весьма редко встречаются и октаэдрические алмазы…