НАУКА И ЖИЗНЬ / Архив журнала «НАУКА И ЖИЗНЬ»

№8, 2007 год

Доктор физико-математических наук Л. КСАНФОМАЛИТИ.

 

 

 

Когда мой кот считает, что пришло время взглянуть на меня свысока, он забирается на полку серванта, а с нее непринужденно взлетает на шкаф. Там у него наблюдательный пункт. Делает он это так легко, что кажется, прыжок не требует от него никаких усилий. Просто кот с вертикальным взлетом. Но внимательнее присмотревшись, можно заметить, что прыжок он по-своему рассчитывает, сначала раз-другой приникая к поверхности и приседая до упора на задних лапах.

 

Как-то я подумал: а каким должно быть ускорение, чтобы двигаться так стремительно? Как его определить? Для этого понадобится измерить время прыжка… Впрочем, нет, этого не потребуется, сообразил я. Ничего не понадобится измерять, кроме высоты шкафа и длины лап кота. Обо всем остальном когда-то позаботился сэр Айзек Ньютон, создав свою механику, причем будет достаточно той части его творческого наследия, которую изучают в 5-6-м классах школы. Поняв это, я обратился к коту. Настроение у него было хорошее, и он любезно позволил мне провести несложные измерения.

 

Высота, на которую прыгал кот, считая от середины его, скажем так, талии, составляет 1,05 метра. Обозначим ее h. Ускорение свободного падения известно - g = 9,81 м/с2. Чтобы коту (с массой m) вспрыгнуть на высоту h, ему понадобится начальная скорость v, которая находится из равенства потенциальной энергии кота, когда он сидит на шкафу, Ep = mgh и его кинетической энергии в начале прыжка Ek = mv2/2. Из равенства Ep = Ek получается известная школьная формула v = .

 

В соответствии с этой формулой начальная скорость получается довольно большой: v =  = 4,54 м/с. По-видимому, когда кот приседает перед прыжком, он ее как-то рассчитывает. Эту скорость нужно иметь в конце разгона. Так как кот не разбегается, а прыгает с места, приникнув сначала к поверхности, путь разгона определяется длиной l его распрямленных задних лап, которая составила 15 см. Кстати, передние лапы он использует, главным образом, чтобы переместить центр своей массы на линию приложения ускорения. В том, что для вычисления результата измерять время разгона не требуется, никакого фокуса нет. Просто конечная скорость разгона равна начальной скорости прыжка v, которая определяется уже известным путем l, неизвестными пока ускорением разгона w и его длительностью t: v = wt, откуда t = v/w. Чтобы не усложнять расчет, предположим, что ускорение во время прыжка не меняется. Это, вероятно, не совсем так, но от такого допущения результат изменяется незначительно. Так как разгон начинается "с нуля", средняя скорость разгона vср = v/2, а путь разгона l связан с ускорением таким выражением:

 

l = vt/2 = wt2/2 = w(v/w)2/2 = v2/2w.

 

В последней части формулы неизвестным осталось только ускорение w. Его легко найти. Чтобы на коротком пути l = 15 см кот смог разогнаться до 4,54 м/с, он должен создать ускорение w = v2/2l = 4,542/(2•0,15) = = 68,7 м/с2, что составляет ровно 7g, семикратное ускорение свободного падения! Такие перегрузки испытывают, например, летчики-испытатели, а коту - хоть бы что. В момент разгона своими тонкими лапками кот массой 6 килограммов создает на короткое мгновение усилие 412 ньютонов, или 41 кгс, как кому нравится.

 

Кстати, о мгновении. На разгон у кота уходит всего 66 тысячных секунды: t = v/w = = 4,54/68,7 = 0,066 с. В короткие мгновения животные способны создавать очень большую мощность. За эти 66 тысячных долей секунды кот развивает мощность 0,93 кВт, или 1,2 столь любимых автомобилистами лошадиной силы.

 

Внимательный читатель мог заметить, что для расчета ускорения достаточно просто разделить высоту прыжка на путь разгона: h/l и полученную семерку умножить на земное ускорение g.

 

Интересно сравнить физические способности кота с возможностями, извините, спортсмена, прыгуна в высоту, который героически преодолевает планку на высоте 2 метра. Кто-нибудь видел, чтобы спортсмен перепрыгивал планку на этой высоте стоя? Планку он огибает, придавая своему телу горизонтальное положение. Поэтому прыжок на самом деле получается на высоту всего 1 метр, считая от центра массы человека, который находится где-то у его пояса, на высоте около метра. Тогда его начальная скорость v должна составлять те же самые 4,5 м/с. Отличие от прыжка кота в разгоне: прыгун не приседает на землю перед прыжком, как кот, он только распрямляет ноги (наверное, не больше чем на 0,8 м) и ступни (еще примерно на 0,2 м), всего, может быть, на l = 1 м. Ускорение w получается равным 10,3 м/с2, а время разгона t = 0,44 с (поэтому и ускорение меньше). В обоих случаях разница с котом составляет семь раз, соответственно меньше и больше. Мгновенное усилие спортсмена, если его масса 80 кг, лишь вдвое больше, чем у кота, - 824 ньютона, а мощность достигает 1,8 кВт в течение 0,44 с. Но спортсмен разбегается, а кот лихо прыгает с места.

 

Вот такой маленький силач скромно живет в наших домах, а его феноменальные способности легко обнаружить простыми расчетами в рамках школьной физики.