Александр Борисович Белявский родился 6 мая 1932 года в Москве.
Окончил геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота. После защиты диплома отправился на работу в город Иркутск, в Восточно-Сибирское геологическое управление. В Иркутске Александр Белявский впервые вышел на сцену самодеятельного театра. Затем поступил в театральное училище им. Б. Щукина и окончил его в 1961 году. Обладал выигрышной, мужественной фактурой, высоким ростом, стройной фигурой. По характеру артистического таланта и фактуры был склонен воплощать отрицательные характеры. Был первым ведущим знаменитого в 1960-70-е годы телевизионного «Кабачка 13 стульев». Участвовал в телепрограмме «Белый попугай». Был одним из ведущих актёров дубляжа кинофильмов в 1980-е годы. В 2003-м году перенёс тяжёлый инсульт, находился на инвалидности. Был дважды женат. Трагически сложилась его судьба с первой женой. Младший сын утонул в речке, будучи ребёнком, после чего был взят на воспитание мальчик из детского дома. По мере взросления, он узнал от «доброжелателей» о том, что является неродным сыном артиста, и стал отдаляться от семьи. Результат плачевен: он выпал из окна и погиб. От первого и второго браков у Белявского родились две дочери.
Погиб 8 сентября 2012 года в Москве.