http://www.pravoslavie.ru/put/58342.htm

(дополнение к раннее написанному : Математика, философия и атеизм)

Вопрос доказательства чего-либо упирается в психологическую готовность человека принимать непротиворечивые утверждения. Когда мы поступали на 1-й курс матфака, то перед нами не стояла задача разоблачить Кантора, Пуанкаре, Коши или Эйлера. Мы шли учиться, до нас все доказательства теорем были уже обглоданы до косточек, отточены и тысячи раз перепроверены. Нам лишь оставалось пройти путь, утоптанный до нас, поэтому психологически мы были готовы воспринимать новые вещи. Причем, они касались толькоума, а не сердца. Никаких нравственных, моральных и пр. устоев не потрясали и не заставляли полностью поменять мировоззрение. Логически непротиворечиво, не нарушает аксиом? Все, считаем верным. Кстати, аксиомы – это вещи, о которых договорились, что они истинны, исходя из жизненного опыта. Слово «аксиос» греческое, означает «достоин». Употребляется и при таинстве рукоположения в священнический сан. «Достойно того, чтобы именоваться непреложной истиной».

На 1-м курсе нам сразу объяснили, что вся математика покоится на очень-очень хлипком основании – на вере. Царица наук, между прочим…
Читать далее

Отрывки из публичной лекции, прочитанной 7-го апреля 1896 г. в С-Петербургских высших женских курсах известным философом-неокантианцем Александром Ивановичем Введенским (1856-1925).

...

Что мы называем смыслом любой вещи? В чем состоит общепринятое значение этого термина? Приблизительный ответ очень прост: смыслом вещи называется ее истинное назначение, то есть, ее действительная, но не кажущаяся пригодность служить средством для той цели, для достижения которой назначена эта вещь. Другими словами: мы приписываем данной вещи смысл только в том случае (хотя, может быть, еще не всегда, но пока оставим это в стороне), если она назначена для достижения какой-нибудь цели и если она действительно пригодна для этой цели. Если же эта вещь не имеет никакого назначения или же если даже она и назначена для достижения какой-нибудь цели, но в действительности непригодна для этой цели, то мы считаем ее бессмысленною.

читать дальше В этом-то устранении привычки к непоследовательному материализму, привычки, развращающей наш ум, и состоит практическое значение нашего вывода.

Доказанная в 1931 году Теорема Гёделя о неполноте: "Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна". Иначе говоря, а) в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. б) непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

Таким образом, опровергаются надежды тех, кто заявлет, что "наука скоро объяснит все". Не всё. И никогда. Чисто формальная, или дедуктивная система, всегда несовершенна, нуждается в осмыслении и... руководстве извне. Предоставленная самой себе, она просто беспомощна и бессильна. Отсюда вытекает невозможность пресловутой "самоорганизации сложных систем", которая представляется абсолютно несовместимой со всем сказанным, но вполне согласуется с понятием повышения энтропии, т.е. с понижением упорядоченности и сложности информации во Вселенной. И сама Вселенная как сложная система нуждается в упомянутом "руководстве извне", т.е. существует Нечто, существовавшее и до возникновения Вселенной и организовавшее ее.

Вполне логичным развитием теоремы Геделя можно считать теорему Эшби о необходимом разнообразии. Суть принципа Эшби состоит в следующем: максимальная эффективность и устойчивость характерна для таких сложноорганизованных систем, в которых максимально внутреннее разнообразие (количество и качество составляющих систему элементов и их внутренняя дифференциация). Но тогда получается, что процесс эволюции должен был не убыстряться, а наоборот – замедляться.

Согласно Теореме Геделя, "мощность множества истинных утверждений больше мощности множества доказуемых утверждений". А если перевести с математического на человеческий – есть бесконечно много утверждений, доказать которые принципиально невозможно, но которые тем не менее верны. Так можно ли требовать от верующих доказательств существования Бога и, не получив таковые, утверждать, будто Бога нет?

Да и само понятие «доказательство» в математике не имеет точного определения. Оно принадлежит математике не более, чем психологии – это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других. Теорема Теорема Тарского 1936 г. (следствие Теоремы Геделя) гласит, что понятие арифметической истины не может быть выражено средствами арифметики.

В своей основе "царица наук" математика опирается на философию (т.е. на размышления о целях и смыслах) и психологию.