При каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а - 1)х + а² - 8а + 9 = 0 имеет два различных корня, меньших 1?

Эта задача относится к классу задач о расположении корней квадратного трехчлена с параметром относительно некоторого числа А. Возможны три случая: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой - больше А; оба корня больше А.

Для решения таких задач имеется три подхода. Первый подход опирается на специально разработанную теорию, которая содержит алгоритмы решения каждой из задач. Второй подход сводится к проблеме о определения знаков корней квадратного уравнения. Это делается при помощи подстановки х = t +A, в результате которой трехчлен относительно х переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового уравнения очевидным образом определяют расположение корней квадратного уравнения относительно числа А. Третий подход основан только на той теории, которая изучается в общеобразовательной школе.

Решение I. Пусть х = t + 1. Тогда (t + 1)² + 2(а - 1)(t + 1) + а² - 8а + 9 = 0, t² + 2t + 1 + 2(a - 1)t + 2a - 2 + а² - 8а + 9 = 0, t² + 2at + а² - 6a + 8 = 0.

Так как корни уравнения х₁ и х₂ должны удовлетворять неравенствам х₁ = t₁ + 1< 1 и х₂ = t₂ + 1 < 1, t₁ < 0 и t₂ < 0. Поэтому наша задача может быть переформулирована так: "При каких значениях параметра а уравнение t² + 2аt + а² - 6а + 8 = 0 имеет два отрицательных корня?"

Для этого необходимо и достаточно чтобы выполнялись неравенства: D > 0 (корни существуют), а² - 6а + 8 > 0 (оба корня одного знака), -2a < 0 (сумма корней отрицательна, значит они оба отрицательные).

D = а² - а² + 6a - 8 > 0, 6a > 8, a > 4/3.
а² - 6а + 8 > 0 ⇔ a ∈ (-∞; 2) ∪ (4; +∞).
-2a < 0, a > 0.

Значит, a ∈ (4/3; 2) ∪ (4; +∪).

Решение II. Теория о расположении корней квадратного трехчлена относительно некоторого числа (в нашем случае относительно числа 1) изложена в книге Г.В. Дорофеева "Квадратный трехчлен в задачах". Эту книгу можно прочитать по адресу http://lib.mexmat.ru/books/85823 или скачать тут: http://yadi.sk/d/HOUu5ZFc9Ctyh или http://www.mediafire.com/?hb256u403irue3t или http://ifolder.ru/21421132 . А если не удастся ее найти по указанным адресам, то наберите в строке поиска в ya.ru текст "скачать Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах" и вы обязательно скачаете или прочитаете эту книгу и, используя соответствующие формулы, решите нашу задачу..

Я считаю, что для решения нашей задачи, а значит, и всех аналогичных задач, не нужно знать особых подходов, достаточно владеть теорией решения квадратных уравнений излагаемой по программе общеобразовательной школы.

Решение III.

А это мое решение, которое не использует замысловатых теорий, основано на самых простых знаний школьного курса математики общеобразовательных классов.



Я бы еще предложил выяснить, при каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а - 1)х + а² - 8а + 9 = 0 имеет два корня каждое из которых больше 1; один корень больше 1, а другой меньше 1 и оба корня принадлежат, например, промежутку (1; 4).

Читая книгу посвященную методике преподавания математики (Г.П. Бевз. Методика розв'язування алгебраїчних задач у 6-8 класах) я встретил простую задачу, которая имеет несколько интересных и полезных в методическом отношении (для логического развития учащихся) решений. Вот условие этой задачи в моем вольном переводе с украинского языка.

Сумма цифр двузначного числа рана 15. Если это число умножить на 7 и от произведения отнять двузначное число, записанное теми же цифрами что и данное, но в обратном порядке, то получим 387. Найти двузначное число.

Первое, что я сделал - нашел свое, как мне кажется, самое простое решений этой задачи, доступное даже учащимся младших классов. Вот эта задача и ее несколько решений.

Решение 1.

Так как сумма цифр двузначного числа рана 15, то возможно это число 69, 78, 87 и 96. Не так уж много кандидатов на правильный ответ. Теперь проверим каждое из этих число на выполнение условия "Если это число умножить на 7 и от произведения отнять двузначное число, записанное теми же цифрами что и данное, но в обратном порядке, то получим 387".

69 ⋅ 7 - 96 = 387. Значит, 69 - искомое число.

Однако задача может иметь и другие решения. Поэтому проверим оставшиеся числа (78, 87 и 96) на выполнение этого условия.

78 ⋅ 7 - 87 (оканчивается на 9) ≠ 387.

87 ⋅ 7 - 78 (оканчивается на 1) ≠ 387.

96 ⋅ 7 - 69 (оканчивается на 3) ≠ 387.

Значит, 69 - единственное искомое число.

Ответ: 69.

Рассмотренный мною метод решения этой задачи называется методом перебора. Он эффективен тогда, когда кандидатов для выбора среди них не так много.

Автор, указанной выше книги решает эту задачу следующими двумя способами.

Решение 2.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х. Тогда цифра его единиц будет 15 - х, поэтому искомое число равняется 10х + 15 - х; 10(15 - х) + х - число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Получаем уравнение

(10х + 15 - х) ⋅ 7 - (10(15 - х) + х) = 387.

Решив это уравнение получим х = 6 (цифра десятков). Цифра единиц: 15 - х = 9.

Ответ: 69.

Решение 3.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х, а цифру единиц - через у. Так как сумма цифр равна 15, то получаем уравнение х + у = 15. Кроме этого из условия задачи следует еще одно уравнение: (10х + у) ⋅ 7 - (10у + х) = 387, 69х - 3у = 387, 23х - у = 129.

Получаем систему уравнений

которая имеет единственное решение х = 6, у = 9.

Ответ: 69.

Вот такие решения предлагает нам автор пособия по методике преподавания алгебры. Не знаю почему, но Г.П. Бевз не указа еще одного решение рассматриваемой задачи.

Решение 4.

Обозначим цифру десятков искомого двузначного числа через х, а цифру единиц - через у. Из условия задачи следует уравнение: (10х + у) ⋅ 7 - (10у + х) = 387, 69х - 3у = 387, 23х - у = 129, 23х = 129 + у.

Так как у ≥ 1 (у - первая цифра двузначного числа, поэтому у ≠ 0) и у ≤ 9, то 130 = 129 + 1 ≤ 129 + у ≤ 129 + 9 = 138.

Поэтому 130 ≤ 23х ≤ 138, 5, 652... ≤ 23х ≤ 6. Значит, х = 6.

23 ⋅ 6 = 129 + у, у = 138 - 129, у = 9.

Ответ: 69.

Среди многочисленных школьных математических задач особо выделяются сюжетные задачи. Их также называют текстовыми.

Выделяют два основных метода решения сюжетных задач - арифметический и алгебраический.

До 70-х годов прошлого столетия основным методом решения задач в курсе математики был арифметический метод. Однако позднее за счет алгебраизации курса математики начальной и неполной средней школы из программы было практически вытеснено изучение разнообразных арифметических приемов решения текстовых задач. Самым распространенным методом решения задач стал алгебраический.

Но еще тогда А.Н. Колмогоров предостерегал от чрезмерного увлечения алгебраическим методом.

Практика показала справедливость его предупреждения.В настоящее время еще раз возникла необходимость пересмотра содержания обучения математике (в частности, арифметике). В последние годы появилась методическая литература, в которой наметилась тенденция возвращения к арифметическим способам решения задач.

Мне не хотелось бы, что все пошло по замкнутому кругу. Каждый из методов решения текстовых задач имеет свои преимущества и свои недостатки. Поэтому в школьном курсе математики следует изучать оба метода.

Пример. Сумма двух чисел равна 38. Найти эти числа, если 2/3 первого числа равны 3/5 второго.

Решение 1.

Пусть первое число составляет 90 (90 делится на 2, на 3 дважды и на 5) частей. Тогда его 2/3 будут равны 60 частям. 60 : 3/5 = 100 - столько частей составляет второе число.

Сумма двух чисел равна 90 + 100 = 190 частей. Тогда первое число равно 38 : 190 * 90 = 18, а второе - 38 - 18 = 20.

Проверка. 2/3 от числа 18 равно 12, а 3/5 от числа 20 составляют тоже 12. Значит задача решена верно.

Решение 2.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда

Решив эту систему мы получим х = 18, а у = 20.

Конечно, эту задачу можно было бы решить при помощи только одного уравнения.

Однако мне не нравится, что в в приведенных выше решениях арифметический и алгебраический методы "разобщены".

Рассмотрим еще одно решение, в котором оба метода мирно сотрудничают (в отличии от их сторонников и противников).

Решение 3.

Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда , .

Значит, первое число составляет 9 частей, а второе - 10. Тогда на все число будет приходиться 9 + 10 = 18 частей. Поэтому первое число равно 38 : 19 * 9 = 18, а второе - 38 : 19 * 10 = 20.

Проверку я пропускаю, но она обязательный элемент решения.

Последнее решение мне нравится больше всех, так как здесь реализованы все методические преимущества обоих методов.

Отрывок из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова

Если помните, в рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зиберов не сумел решить арифметическую задачу, а отец репетируемого им ученика, отставной губернский секретарь Удодов, довольно быстро, пощёлкав на счётах, получил правильный ответ. Не смогли бы вы также арифметически решить эту задачу? Вот она.

- “Купец купил 138 аршинов черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля? “ Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря начинает делить 540 на 138.

- Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Давайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.

“ Странно...-думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!... Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая...”
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
..............................................................................................................
-Это задача, собственно говоря алгебраическая,- говорит он. - Ее с иксом и игрэком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил... понимаете? Теперь вот надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...

Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик 7 класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.

- И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
- Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.

— Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Как же это "по-неученому" решил эту задачу отставной губернский секретарь Удодов? Наверное, не при помощи уравнений или их систем, иначе это стало бы "по-ученому".

Наверное, сегодня мало кто это сможет сделать. Отставной губернский секретарь Удодов решал эту задачу чисто арифметическим методом. Вот как решали в те времена такие задачи.

Вот еще раз условие этой задачи.

Купец купил 138 аршинов черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?

Сначала узнаем, сколько заплатил бы купец, если бы купил все 138 аршин по 5 рублей: 138*5=690. На сколько это больше, чем он заплатил? 690-540=150.

Теперь один метр сукна по 5 рублей заменим на сукно по 3 рубля. Понятно, что затраты купца сократятся на 5 - 3 = 2 рубля. Теперь уже переплата станет 150 - 2 = 148 рублей.

Сколько же раз таких замен нужно сделать, чтобы ликвидировать переплату в 150 рублей?

Нетрудно посчитать число таких замен: 150 : 2 = 75.

Значит, в самом начале купцу надо было купить 75 метров сукна по 3 рубля и 138 - 75 = 63 метра по 5 рублей.

Вот такое простое решение. Возникает риторический вопрос: "Нужно ли учить таким методам решения задач современных школьников?". Нетрудно ответить - Да!

Чтобы закрепить в сознании читателей этой заметки рассмотренный выше арифметический метод решения этой задачи предлагаю продолжить другое (тоже арифметическое) решение этой задачи.

Сначала узнаем, сколько заплатил бы купец, если бы купил все 138 аршин по 3 рубля: 138 * 3 = 414. На сколько это меньше, чем он должен был заплатить? ...

И еще одна задача на прощание.

На дворе бегают куры и поросята, у всех вместе 20 голов и 52 ноги. Сколько всего кур и поросят?

Желаю удачи и не получить умственного переутомления!

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 12 - Центр окружности, описанной около четырехугольника
Часть 13 - Wolfram Alpha для браузера
Часть 14 - Задача из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова
Часть 15 - Рисунок-ключ к решению текстовой задачи
Часть 16 - Угол между двумя плоскостями. Задание 16(С2)
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой
пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение читайте эдесь.

Докажите, что а не может быть четвертой степенью натурального числа, если а - 5 делится на 9.

Решение. Допустим противное, т.е. что а = х⁴ и а - 5 = 9у, это значит, что уравнение

х⁴ = 9у + 5. (1)
имеет хотя бы одно решение в натуральных числах.

Как известно, любое натуральное число х можно представить в виде х = 9*p+r, где 0≤ r < 9, где r и p натуральные, тогда х⁴= (9p + r)⁴= 9S + r⁴. Подставляем это значение х⁴ в уравнение (1):

9S + r⁴ = 9y + 5. (2)

Из последнего равенства имеем r⁴ - 5 = 9*(у - S), это означает, что r⁴ - 5 делится без остатка на 9.

Осталось показать, что этого не может быть, а именно переберем все числа для r = 0, 1, 2 .... , 8. Убедитесь самостоятельно в том, что в каждом из этих случаев r⁴ - 5 не делится без остатка на 9.

Значит, число а - 5 не делится на 9 ни при каких натуральных значениях а.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 3 : 2. Найти угол между плоскостями АBC и BED₁.

Решение. Пусть прямая D₁E пересекает прямую AD в точке K. Тогда плоскости ABC и BED₁ будут пересекаться по прямой KB.

Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) будет перпендикулярна прямой KB (теорема о трех перпендикулярах).

Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED₁.

Поскольку AE : EA₁ = 3 : 2, получаем: .

Из подобия треугольников А₁D₁E и AKE получаем: .

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: АВ = 2, АК = 3, ; откуда высота
.

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем: и ∠ AHE = arctg(√13/2).

Ответ: arctg(√13/2).

Задания для самостоятельного решения

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB₁ = 2, AD = AA₁ = 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АВС₁.

2. В прямой шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все углы равны 1. НАйдите расстояние от точки В до плоскости DEA₁.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1, AA₁ = 2. Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Имеются 25 коробок, массой 13 кг каждая и 19 коробок, массой по 29 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S – модуль разности суммарной массы коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S, если
a) дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок.
б) без дополнительного условия п.а)

Решение. Пусть в первом контейнере находится x коробок массой 13 кг и y коробок массой 29 кг. Тогда во втором контейнере будет находится соответственно по 25 - x и по 19 - y коробок.

Поэтому модуль разности суммарной массы можно записать: S=|13x + 29y - ((25 - x)⋅13 + (19 - y)⋅29)| или S=2⋅|13x + 29y - 438|.

a) Условие равенства количества коробок выражается в виде равенства x + y = (25 - x) + (19 - y), 2x + 2y = 44, x + y = 22.

Тогда выражение для модуля разности суммарной массы коробок в контейнерах запишется S=2⋅|13x + 638 - 29x - 438|=16⋅|25 - 2x|.

Поскольку S ∈ Z, то минимальное значение выражения |25 - 2x| может быть сделано равным только единице, поэтому ответ на п.а) равен 16 .Этот результат достигается при x= 12 или x=13.

б) Минимальное значение выражения S=2⋅|13x + 29y - 438| равно 0. Чтобы узнать при каких значениях х и у это значение достигается нужно решить уравнение 13x + 29y = 438 в целых числах.

13x = 438 - 29y,
(1)

Так как х - целое число, то

9 - 3y = 13k, где k - целое число.

13k + 3y = 9,
(2)

В силу того, что у тоже целое число, то k = 3t.

Из (2) следует, что у = 3 - 4 ⋅ 3k + k, y = 3 - 13k.

Из (1) получаем, что x = 33 - 2(3 - 13k) + 13 ⋅ 3t = 27 + 29t.

Итак, x = 27 + 9t, у = 3 - 13k.

Так как 0 ≤ х ≤ 9, то 0 ≤ 27 + 29t ≤ 9, -27 ≤ 29t ≤ -2, 0 ≤ x 0.

Последнее неравенство не имеет решений в целых числах. Значит, уравнение 13x + 29y = 438 не имеет решений в целых числах, для х ∈ [0; 25]. Поэтому S не может принимать значение 0. Поскольку S четное число, наименьшее значение S может быть равно 2. Для этого найдет решение уравнения 13x + 29y - 438 = ±1.

Уравнение 13x + 29y = 438 + 1, 13x + 29y = 439 имеет решение х = 7 и у = 12 (решети самостоятельно по предыдущему образцу). Значит, разность масс контейнеров будет равна 2.

Ответ: а) 16, б) 2.

Задачи для самостоятельного решения

1. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пунка a.

2.Имеется 17 коробок массой 37 кг и 25 коробок массой 61 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пункта a.

3.Имеется 27 коробок массой 17 кг и 19 коробок массой 61 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам.Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пункта a.

4.Имеется 25 коробок массой 31 кг и 15 коробок массой 51 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S - модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
a)если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находится одинаковое количество коробок;
b)без дополнительного условия пункта a.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 5/(x + 1) = a|x - 4| имеет на промежутке [0;+∞) более двух корней.

Решение. Рассмотрим графическое решение этой задачи.

Вообще говоря, известно, что графиком функции y=5/(x+1) является гипербола. Однако нас интересует только ее правая ветвь, котороя расположена в области [0;+∞). При этом все значения функции y=5/(x+1) будут положительными.

График же функции у = a|x-4| стандартен. По условию, данное уравнение должно иметь не менее трех корней. Рассмотрим, при каком расположение графиков функций y=5/(x+1) и у = a|x - 4| на координатной плоскости это возможно.



Определим точку касания гиперболы y=5/(x+1) и графика модуля у = a|x-4| как это изображено на рисунке выше.
Прямая у = -ах + 4 будет касаться гиперболы у = 5/(x+1) только тогда, когда уравнение -а(х - 4) = 5/(x+1) имеет единственное решение. Рассмотрим решение этого уравнения.

-ах² + 4ах - ах + 4а = 5,
ах² - 3ах - ах - 4а + 5 = 0.

Последнее уравнение имеет единственное решение только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
D = 9a² + 4а(4a - 5) = 0,
25a² - 20a = 0,
a = 0 или а = 0,8.

При а = 0 уравнение -а(х - 4) = 5/(x+1) корней не имеет. а = 0,8 удовлетворяет нашему требованию (проверьте самостоятельно!). Случай а = 0,8 изображен на рисунке выше.

Правая ветвь модуля пересекает ветвь гиперболы всегда в одной точке. При a > 0,8 левая ветвь графика функции у = a|x-4| будет пересекать ветвь гиперболы в двух точках до тех пор, пока прямая у = -а(х - 4) будет пересекать ось ординат в точке ниже 5.

Прямая у = -а(х - 4) пересекает ось ординат при х = 0 и у = 4а. Значит, 4а < 5< a < 1,25.

Поэтому условию данной задачи удовлетворяют все значения а из промежутка (0,8; 1,25).

Ответ: (0,8; 1,25).

В заметке http://www.liveinternet.ru/users/kifar/post224214082/ (Область определения функции в Wolfram|Alpha) было подробно описано как находить область определения функции одной переменной на примерах решения тестовых заданий ЕНТ по математике на базе материалов 2012 года. Теперь настал черед рассмотреть вопрос об определении множества значений функции.

Как и в предыдущей статье мы обратимся к материалам тестов ЕНТ (аналог ЕГЭ в Казахстане) по математике 2010 - 2012 годов.

Для начала немного теории. Для отыскания множества значений функции Wolfram|Alpha использует запрос range, который имеет следующий формат:
 

range f(x)

где range так и переводится как множество значений или область значений; f(x) - конкретная функция, множество значений которой требуется вычислить.

Рассмотрим следующий пример по определению множества значений функции y = .

Как всегда для начала работы перейдем на главную страницу сервиса Wolfram|Alpha по адресу http://www.wolframalpha.com/ и введем запрос в виде range -x^2+8x-3 . На следующем рисунке указано как следует вводить наш запрос и получить на него ответ.

Для получения множества значений нашей функции в окне ввода запросов нажмем на заначек "=". Мы получим интересующий нас ответ

Кроме этого ответа среди результатов выполнения нашего запросы система Wolfram|Alpha изобразить множество значений нашей функции на числовой прямой, вычислит область определения нашей функции и построит график исследуемой функции в различных масштабах в декартовой системе координат.

Более полный вариант этой статьи с подробным разбором других примеров читайте здесь.

Как правило, на экзамене ЕНТ (аналог ЕГЭ в Казахстане) в каждом варианте содержится задание на вычисление области определения функции. Такие задания удобно решать при помощи сервиса Wolfram|Alpha.

Для вычисления области определения функции в Wolfram|Alpha есть правило (формат) запроса

domain f(x)
где domain буквально переводится как "область определения функции", а f(x) - это та функция, область определения которой вам необходимо вычислить. По такому формату запроса система Wolfram|Alpha выводит пользователю: область определения функции в терминах теории множеств, ее графическую иллюстрацию и схематическое изображение графика функции. Этого вполне достаточно, чтобы получить правильный ответ на соответствующее тестовое задание и сверить его с ответами для выбора.

Вот и вся небольшая теория по теме "область определения функции". А теперь перейдем к конкретной практике и рассмотрим несколько примеров на вычисление области определения функций при помощи системы Wolfram|Alpha. Отметим лишь, что все эти задания взяты мной из сборника для подготовки ЕГЭ по математике 2012 года без соответствующих пяти ответов для выбора правильного среди них.

1. Найдите область определения функции у = 1/(x² + x).

Сначала перейдем на главную страницу сервиса Wolfram|Alpha по адресу http://www.wolframalpha.com/ и введем запрос в виде domain 1/(x^2+x) . На следующем рисунке указано как следует вводить наш запрос и получить на него ответ.


После указания "получить ответ" (нажатия на кнопку "=") мы получить следующий искомый результат.


Понятно, что это простое задание можно было достаточно быстро решить устно, не прибегая к помощи Wolfram|Alpha. Его мы рассмотрели для того,чтобы объяснить технику работы по вычислению области определения и множества значений функции в системе Wolfram|Alpha.

Теперь рассмотрим решение более сложного задания.
2. Найдите область определения функции:.
"Переведем" это задание на язык понятный системе Wolfram|Alpha: domain 2+sqrt(sin(x/2)). Выполним процедуру получения ответа как и в предыдущем примере.

Этот ответ однозначно соответствует правильному ответу, который содержится в сборнике тестов, откуда был заимствован этот пример.
3. Найдите область определения функции: .

Как видно из рисунка система Wolfram|Alpha дала хотя и правильный,но не очень корректный ответ: х < -1 или 2х > 1. Это, как говорится издержки системы. Вообще, на Wolfram|Alpha надейся, но сам не плошай!

Вот пример, решение которого в системе Wolfram|Alpha никак не соответствует ответам из сборника тестов для подготовки к ЕНТ 2012 года.

4. Найдите область определения функции у =
Запись данной функции в системе Wolfram|Alpha имеет вид domain sqrt(sin(x)-sqrt(3)cos(x)). Полученное решение представлено на следующем рисунке.

Это решение не совпадает ни с одним из ответов для выбора правильного из них в соответствующем тестовом задании. Поэтому следует помнить, что система Wolfram|Alpha иногда дает и сбои.

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите область определения функции: у = .
2. Найдите область определения функции: у =
3. Найдите область определения функции:.
4. Найдите область определения функции: .
5. Найдите область определения функции: у = log₂(x + 6) + log₃(6 - x).
6. Найдите область определения функции: .

На сайте http://egeent.ucoz.ru я уже опубликовал несколько статей о применении системы Wolfram Alpha для подготовки к ЕНТ и ЕГЭ по математике. Уверен, что такие системы еще не нашили тех, кто их мог бы по достоинству оценить в качестве инструментов преподавания учебных дисциплин.

Теперь же я нашел плагины для встройки этой системы в практически любой браузер. Таким образом система Wolfram Alpha всегда у меня под рукой (в прямом и переносном смысле этого слова). Эти плагины можно найти по адресу http://www.wolframalpha.com/downloads.html?showall и буквально в один клик мыши установить на своем браузере. Коллекция плагинов и расширений Wolfram Alpha включает гаджет iGoogle и расширения для Firefox, Chrome, Safari, Internet Explorer и Opera.

После установки соответствующего плагина в правом верхнем углу браузера появляется кнопка соотвествующая логотипу системы Wolfram Alpha. После нажатия на нее появляется окно для ввода задания.

Теперь мне нетрудно посмотреть график любой функции типа cos(pi*x) / (-LN2*x), разложение многочлена 2x^5 - 19x^4 + 58x^3 - 67x^2 + 56x - 48 на множители, вычисление значения любого громоздкого арифметического выражения и т. п.

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
...
Часть 11 - Окружность описанная около трапеции
Часть 12 - Центр окружности, описанной около четырехугольника
Часть 13 - Wolfram Alpha для браузера
Часть 14 - Задача из рассказа «Репетитор» Антона Павловича Чехова
Часть 15 - Рисунок-ключ к решению текстовой задачи
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения

Как известно правильное решение задания типа С3 в тестах ЕГЭ оценивается в три балла. Поэтому решение таких заданий повышает шансы абитуриента при поступлении в вуз. В этой заметке рассматривается авторское решение из подготовительного теста ЕГЭ-2012.

Решите неравенство ≤ 1 – 2x + .

Решение. Найдем ОДЗ.

Пусть = а, тогда ² = x + 2 + 2а² = x + 2 + 2 + 3x - 1; >а² = 4x + 1 + 2 ;  (а² - 4x - 1)/2 ≤ 1 – 2x + а;  а² - 4x - 1 ≤ 2 – 4x + 2а; а² - 2a - 3 ≤ 0. Разложив левую часть последнего неравенства на множители получим

С6. Найдите все целочисленные решения системы



Решение. Из второго уравнения данной системы следует, что y - 1 ≥ 0 или у ≥ 1. С учетом того, что у - целое число имеет у ≥ 2.

x²+ 2(y+1)x - 2y + 2y² = x²+ 2(y+1)x + (y + 1)² + y² + y² - 4y < 0 или x² + 2(y+1)x + (y + 1)² + y² - 4y + 4 < 4,

(x + y + 1)² + (y - 2)² < 4.

Из последнего неравенства следует, что (y - 2)² < 4, |y - 2| < 2. Так как у ≥ 2, то 0 ≤ y - 2 < 2, 2≤ y ≤ 4 . Значит, у = 2 или у = 3.

Если у = 2, то данная система примет вид

О Всесибирской физико-математической олимпиаде школьников я уже писал в одном из своих сообщений. Это прекрасный конкурс для школьников 8 - 11 классов. На мой взгляд, прекрасно организован. Сначала учащиеся участвуют в отборочном online конкурсе, а затем победителей, а их достаточно много, приглашают на очный конкурс. При этом для удобства школьников очные конкурсы проходят во многих городах России.

Ниже я привожу свое решение одного из уравнений, предлагавшегося на заочном отборочном конкурсе.

Найти все решения в натуральных числах уравнения 2^x + 2^y = 2^z.

Решение.

Если x = y, то 2^y + 2^y = 2^z, 2 ⋅ 2^y = 2^z, 2^{y + 1} = 2^z, z = y + 1. Любая тройка (y; y; y + 1), где y - любое натуральное число - решение данного неравенства.

Если x > y, то 2^x + 2^y = 2^z, 2^y(2^x + 1) = 2^z. получаем, что четное число 2^z делится на нечетное число 2^x + 1. Чего быть не может.

Аналогично доказывается, что не имеет место соотношение y > x.

Значит, тройка (y; y; y + 1), где y - любое натуральное число, задает все решения данного неравенства.

Ответ: (y; y; y + 1), где y - любое натуральное число.

Сначала несколько слов об этой олимпиаде.

Всесибирская физико-математическая олимпиада школьников была организована в 1962 году по инициативе академика М.А. Лаврентьева.
Особенностью олимпиады является также то, что призеры олимпиады приглашаются в Летнюю физико-математическую школу, проводимую в Академгородке (г.Новосибирск), по результатам обучения в которой старшеклассники принимаются в физико-математическую школу, ныне Специализированный учебно-научный центр Новосибирского государственного университета.

По Решению Российского совета олимпиад школьников Всесибирская открытая олимпиада школьников включена в Перечень олимпиад школьников на 2010/2011 год по математике (2 уровень), физике(2 уровень), химии(3 уровень), биологии (3 уровень) и информатике (2 уровень). Это означает, что победители и призеры олимпиад имеют право на получение одной из следующих льгот при поступлении в вузы РФ:

быть приравненными к лицам, набравшим максимальное количество баллов по ЕГЭ по соответствующему предмету;
быть приравненными к лицам, успешно прошедшим дополнительные вступительные испытания;
быть зачисленными в образовательное учреждение без вступительных испытаний.

А теперь о задаче.

Найти все точки (х; y) координатной плоскости, через которые не проходит ни одна прямая семейства y = (2px + 1)x - p².

Решение. Пусть через точку (х; y) не проходит ни одна прямая из указанного семейства. Это означает, что уравнение y = (2px + 1)x - p² не имеет решений относительно р.

Уравнение y = (2px + 1)x - p² запишем как квадратное относительно р: p² - 2хр + y - x = 0.

Так как последнее уравнение не имеет решений относительно р, то его дискриминант равен нулю, т. е. D = x² - y + x < 0, y > x² + x .

Значит, условию задачи удовлетворяют все точки (х; y), для которых y >x² + x . Эти точки изображены на следующем рисунке.

Раздел С тестов ЕГЭ по математике все больше и больше становится недоступным для учащихся обычных общеобразовательных школ. Наряду с задачами повышенной сложности,но все же входящими в курс математики обычных школ, там начале появляться темя задач, которые вряд ли в ближайшие годы будут включены в программы общеобразовательных школ. Я имею в виду функциональные уравнения. Эта тема относится к так называемым "олимпиадным".

Радоваться или не радоваться такой моде в тестах ЕГЭ по математике? На мой взгляд, нет. Дело в том, что учащиеся обычных школ даже прочитав условия задач типа С начинают чувствовать себя не полноценными. Так для кого же раздел С? Конечно, для учащихся имеющих повышенную математическую подготовку! Зачем же такие задачи предлагать рядовым учащимся и тем самым ставить их в не равноценные условия с олимпиадниками?

Таково мое мнение о заданиях типа С в тестах ЕГЭ по математике. А теперь конкретно к решению примера.

С1. Решите уравнение g(x) = x³ + 2x² + 4x, если g(2x - 1) = 4x² + 6x - 3.

Решение. Пусть 2x - 1 = t, тогда х = (t + 1)/2 и 4x² + 6x - 3 = (t + 1)² + 3(t + 1) - 3 = t² + 5t + 1. Значит, g(x) = x² + 5x + 1.

Функцию g(x) можно было бы найти иначе: 4x² + 6x - 3 = (2x - 1)² + 10x - 4 = (2x - 1)² + 5(2x - 1) + 1. Пусть 2x - 1 = t, тогда g(t) = t² + 5t + 1 или g(x) = x² + 5x + 1.

Уравнение g(x) = x³ + 2x² + 4x примет вид x² + 5x + 1 = x³ + 2x² + 4x.

x³ + x² - x - 1 = 0,
x²(x + 1) - (x + 1) = 0,
(x + 1)(x² - 1) = 0.

Решениями последнего уравнения будут числа х = ±1.

Ответ: х = ±1.

Задача для самостоятельного решения

C1. Решите уравнение g(x) = 7x - x³ + 3, если g(x) = 4x² - 6x - 1.

В заданиях теста ЕГЭ по математике стало модным предлагать учащимся решить уравнение в целых числах. Большинство учащихся не имеет даже представлений о том, что есть такие уравнения. Было бы разумнее проводить ЕГЭ в два этапа: для всех и для избранных. Последним и надо предлагать такие задания. Для основной массы учащихся даже не следует показывать такие задания, так как они подрывают в них уверенность в успешном решении заданий типа В.

Опять идет полемика о том, что ЕГЭ надо разделить на два этапа: для всех (выпускной школьный экзамен) и для поступающих в вузы. Снова пришли к разбитому корыту советских времен. И правильно!

Однако все это мое (школьного учителя) мнение, на которое наши власти не обращали, и, наверное, не будут обращать внимание. Ведь только им "избранным" следует знать, а главное, решать какими быть школьному экзамену, а мне "сурку" это не дозволено.

После таких печальных лирических отступлений перейдем теперь к разбору нашего задания.

С6. Решите в целых числах уравнение: 1 + 2^k + 2^2k+1 = n².

Решение. Если k = 0, то уравнение примет вид 5 =n² и не имеет решений.

Если k = -1, то уравнение примет вид 2 =n² и тоже не имеет решений.

Если k ≤ -2, то 1 < 1 + 2^k + 2^2k+1 < 1 + 1₄ + 1₄ < 2 и 1 2 < 2. В этом случае данное уравнение также не имеет решений.

Остается рассмотреть случай, когда k - натуральное число. Тогда 1 + 2^k + 2^2k+1 ≤ 11 и n - целое неотрицательное число. Не теряя общности рассуждений можно считать, что n - натуральное число, так как при n < 0 n² = (-m)², где m = -n - натуральное число.

2^k(1 + 2^{k + 1}) = (n - 1)(n + 1).

Понятно, что n будет нечетным числом. Пусть n = 2m + 1. Тогда (n - 1)(n + 1) = 2m(2m + 2) = 4m(m + 1) и наше уравнение примет вид:

2^{k - 2}(1 + 2^{k + 1}) = m(m + 1). (*)

Числа 2^{k - 2} и 1 + 2^{k + 1} взаимно просты. Действительно, если d их наибольший общий делитель, то число
1 + 2^{k + 1} - 2 ⋅ 2^{k - 2} = 1 делится на d. Значит d равно 1.

Аналогично доказывается, что числа m и m + 1 тоже являются взаимно простыми.

Пусть m четное число. Так как правая часть уравнения (*) делится на m, то и правая его часть тоже делится на m. Так как и 1 + 2^{k + 1} - нечетное число, то 2^{k - 2} делится на m. При этом правая часть уравнения (*) делится на 2^{k - 2}, значит и его правая часть тоже делится на 2^{k - 2}. В силу того, что m + 1 - нечетное число, то m делится на 2^{k - 2}. Натуральные числа m и 2^{k - 2} делятся друг на друга. Это возможно только при m = 2^{k - 2}. Тогда m + 1 = 1 + 2^{k + 1} и m = 2^{k + 1}. Получили, что m равно двум различным натуральным числам 2^{k + 1} и 2^{k - 1}. Чего быть не может.

Также приходит к противоречие, если m + 1 - четное число. Таким образом ни m, ни m + 1 не могут быть четными. Но из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным. Значит, данное уравнение решений в целых числах на имеет.

C4.Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2: 3. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.


Решение. Неизвестно как относятся площади трапеций BCFE и AEFD - как 2:3 или как 3:2.
Поэтому эту задачу будем решать в общем виде.

Обозначим искомый отрезок ЕF через х. Пусть площади трапеций BCFE и AEFD относятся как m:n.

. Отсюда
где h₁ и h₂ - высоты этих трапеций.

Через точку F проведем отрезок РН параллельно АВ (можно было бы этот отрезок провести через точку С или D). Тогда треугольники PFD и CHF подобны (докажите самостоятельно) и

Используем соотношение (*):


Решая полученное уравнение относительно переменной х, получаем m(х² - b²) = n(a² - x²), (m + n)x² = na² + mb², .
Если площади трапеций BCFE и AEFD относятся как 2:3, то m = 2, n = 3 и искомый ответ будет .

Если же площади трапеций BCFE и AEFD относятся как 3:2, то m = 3, n = 2 и искомый ответ будет
Ответ: или .