Тема "Метод математической индукции" то изучается в школьном курсе математики, то исключается. Однако, как правило, в так называемых "универсальных" учебниках (Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. Алматы: Атамура, 2005) она обязательно присутствует.

В этой записке я рассмотрю один из примеров автора, который посвящен раскрытию содержания термина "неполная индукция".

Рассмотрим еще один пример. Пусть задан квадратный трехчлен Р(n) = n² + n + 41, где n - натуральное число. При n, равном 1, 2, 3, 4, 5, нетрудно установить, что значения этого квадратного трехчлена - простые числа: Р(1) = 43; Р(2) = 47; Р(3) = 53; Р(4) = 61; Р(5) = 71 и т. д. Отсюда напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами. Однако, эта гипотеза является ошибочной, ибо при n = 41, Р(41) = 41² + 41 + 41 = 41 · 43 не является простым числом.

Трудно себе представить, что в девятом классе у всех учащихся "напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами" (может быть это кажется только автору учебника). Если это все это не так, то, что же делал в этой школе учитель, особенно в классе с углубленным изучением математики?

Необязательно вычислять значения данного многочлена Р(n) = n² + n + 41, при n, равном 1, 2, 3, 4, 5, чтобы сделать заключение, что значение при Р(n) будет составным при n кратном 41.

Здесь я мог бы предложить учителю, работающему с данным учебником рассмотреть следующую задачу.

Задача. Доказать, что значение многочлена Р(n) = n² + n + 41 при n = 40 является числом составным.

Доказательство. Р(40) = 40² + 40 + 41 = 40² + 40 + 40 + 1 = 40² + 2 · 40 + 1 = (40 + 1)² = 41² имеет делители 1, 41, 1681. Значит, 41² - число составное.

Но и эта задача, не является удачной иллюстрацией того, что неполная индукция может привести к ошибочным выводам.

В методических пособиях такие полезные иллюстрации есть. Приведу в качестве примера только одну из них.

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio - наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П. Ферма, проверив, что значение выражения P(n) = при n = 0, 1, 2, 3, 4 принимает значения 3, 5, 17, 257, 65 537 - простые числа, сделал по индукции предположение, что для всех n =0, 1, … числа вида P(n) простые.
Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII в. Л. Эйлер нашел, что P(5) = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 - составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Здесь мной был использован материал из учебника написанного под редакцией известного методиста-математика Н. Я. Виленкина (Алгебра для 9 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/Н.Я Виленкин, Г.С, Сурыило, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1996).

Понятно, что этот пример удачен в методическом плане, так как не так легко доказать, что P(n) не является генератором простых чисел. Кроме того этот пример интересен и как экскурс в историю математики.

LI 5.09.15

Серия сообщений "Рецензии":
Часть 1 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 2 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 3 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?

Серия сообщений "Методические статьи":
Часть 1 - О ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ: Решение уравнения и Корень уравнения
Часть 2 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
Часть 3 - Обучая развиваем
Часть 4 - ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
Часть 5 - ШИРПОТРЕБ ДЛЯ НАРОДА
Часть 6 - ПОЧЕМ ОПИУМ ДЛЯ НАРОДА?
Часть 7 - ВОПРЕКИ ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ
...
Часть 17 - Неравенства с радикалами
Часть 18 - О методическом мастерстве
Часть 19 - Квадратные уравнения