Помню, в популярной книге по математике Р.Петер я в своё время прочёл один впечатляющий пример.
Проведём наклонную линию (0). Затем будем приближать её ступенчатыми со всё меньшим шагом: (1), (2), (3)...

Рано или поздно должна получиться "пила", точнее, "лобзик", со столь малыми "зубчиками", что будет практически не отличима от исходной наклонной.
С очевидностью, мы хорошо приблизили линию (0).
Теперь попробуем оценить её длину, если её горизонтальная проекция равна a, а вертикальная равна b.
Сумма длин горизонтальных отрезков линии (1) равна a; сумма длин её вертикальных отрезков равна b. Значит, её полная длина равна a+b.
И сумма длин вертикальных и горизонтальных отрезков линии (2) тоже равна a+b. Значит, и её длина равна a+b.
Точно так же длина линии (3) получается равной a+b.
Равно как и всех последующих. Вплоть до того "лобзика", который так замечательно приближает исходную линию (0).
Значит, и длина линии (0) тоже равна a+b!
Но из теоремы Пифагора мы знаем, что это не так. (Впрочем, каждый понимает это и из личного опыта.)

К сожалению, Петер на этом не остановилась подробно, удовлетворившись показом того, что не всякое видимое приближение приближает на самом деле. А между тем, это совершенно замечательный пример. Показывающий, что подлинное приближение кривой во всех смыслах можно получить только ломаными, длины составных отрезков которой вычисляются лишь по пифагоровой формуле.
Таким образом, именно теорема Пифагора позволяет производить математический анализ кривых. И в этом смысле она, несомненно, относится к числу первичных, базовых открытий.