Как вычислим если нам дано такое интегралы: ∫ x√(x+b)dx или ∫ x²√(x³+b) dx

Таких интегралы будем вычислить методом замены.Для интеграла ∫ x√(x+b) : 1) Заменим функцию под корень на t :

x + b = t

2) Найдем х с этого уравнения: x = t - b  3) Дифференцируем обоих части:  dx = dt  4) Поставим найденных величин на х и dx:

  ∫ x√(x+b)dx = ∫ ( t - b )√t dt = ∫ t^3/2dt - b∫ t^1/2dt = t^3/2+1/(3/2+1) + bt^1/2+1 /(1/2+1) +C = t^5/2 /(5/2) +bt^3/2 /(3/2) +C = (x+b)^5/2 /(5/2) +b(x+b)^3/2 / (3/2) +C =2( x+b)^5/2 /5 + 2(x+b)^3/2 /3 +C

Для интеграла: ∫ x²√(x³+b) dx  ⇒ 1) x³ + b = t  2) дифференцируем этого уравнения: 2x² dx = dt  ⇒ x² dx  = dt / 2 3) Поставим найденных величин на х и dx : ∫ x²√(x³+b) dx =  ∫ √t dt /2 = 1/2 ∫ t^1/2 dt = 1 /2 t ^1/2+1 /( 1/2+1) + C =

=t^3/2 / 2 * / (3/2) +C =t^3/2/3 + C= (x³+b)^3/2 /3 + C

Примеры:1) ∫ x √(x+10) dx    1)Заменим: x+10 = t  2) Найдем х: x = t - 10  3) Дифференцируем: dx = dt  4) Поставляем на х и dx: ∫ x √(x+10) dx = ∫ (t - 10)√t dt = t^5/2/( 5/2 )- 10 t^3/2 /(3/2) + C = (x+10)^5/2 / (5/2) - 10(x+10)^3/2 /(3/2 )+ C =2(x+10)^5/2 / 5 -20(x+10)^3/2 / 3 +C

2) ∫ x²√(x³+25) dx ⇒ 1) x³ + 25 = t     2) 2x²dx = dt   3) x² dx =dt / 2  4) ∫ x²√(x³+25) dx =∫ √t dt / 2 = (x³ + 25) /3 +C