Э.Клаус родился в многодетной семье сельского лавочника. Учиться рисованию начал в местной художественной школе. По совету композитора Петера Бенуа, Клаус в 1869 году поступает в антверпенскую Академию изящных искусств, где изучает портретную, историческую и пейзажную живопись. В 1874 году он заканчивает учёбу в Академии. В 1875 году художник с успехом выставляет свои работы в Генте, и в 1876 - в Брюсселе.

В раниий период своего творчества Э.Клаус занимается преимущественно портретной и жанровой живописью. Он пишет в реалистической манере, преимущественно в тёмных тонах и использует социальную тематику (напр. полотно Богатство и бедность (1880)). В 1879 году художник совершает путешествие по Испании, Марокко и Алжиру. В 1882 состоялся его дебют на Парижском Салоне, где Клаус представляет свою картину Бой петухов во Фландрии (1882). Начиная с этого момента он проводит много времени в Париже - сосбенно зимой, и подпадает под творческое влияние французского художника Бастьен-Лепажа, также писавшего на социальные темы в реалистической манере.

С приходом финансового достатка в 1883 художник покупает на родине виллу Zonneschijn (Солнечное сияние). В 1886 он женится на Шарлотте Дюфо, дочери нотариуса из соседнего Дейнзе. В этот период Клаус рисует в основном пейзажи родной природы, выдержанные в реалистическом стиле. Во время жизни в сельской местности он поддерживает дружеские отношения и ведёт оживлённую переписку с художником Альбином ван ден Абеле, скульптором Константином Менье, писателями Сирилом Бёйссе и Эмилем Верхарном. Через них, а также через художника Анри Ле Сидане, Клаус открывает для себя такое явление, как французский импрессионизм. Знакомство с работами импрессионистов меняет и живопись самого Э.Клауса - его краски становятся светлее и более тёплыми: он уделяет больше внимания взаимодействию света и тени, благодаря чему формальные вопросы отступают на второй план (Зимородки (1891)). Среди французских импрессионистов особое влияние на живопись Э.Клауса оказал Клод Моне. В работах обоих художников сходной является не только цветовая гамма, но и даже практически одинаковый подбор сюжетов для своих полотен (в лондонский период). Постоянный поиск новых форм выражения и световые эксперименты сделали Э.Клауса непосредственным предшественником такого течения в живописи Бельгии, как луминизм. В Париже Клаус также дружит с известными деятелями культуры, среди которых писатели Эмиль Золя и Морис Метерлинк.

Вплоть до начала Первой мировой войны художник подготовил немало учеников, в их числе были Анна де Верт, Роберт Хаттон Монкс, Торадзиро Кодзима, Жорж Моррен, Леон де Смет и другие. В ноябре 1893 он вступает в художественную группу Union Artistique. Её целью было - как и у аналогичных групп французских импрессионистов - организация выставок и продажа картин. Кроме этого, работы Клауса появляются на выставках брюссельского союза художников La Libre Esthétique в 1896 году и на Берлинском сецессионе. В 1904 Э.Клаус создаёт, совместно с живописцем Жоржем Бёйссе, группу Vie et Lumièrе, в которую позднее вступают такие художники, как Джеймс Энсор, Вильям Дегув де Нункве и Адриан Хейманс.

Вполоть до самой Первой мировой войны Э.Клаус много путешествует - он неоднократно посещает Париж, Нидерланды: в 1907 году он совершает поездку по США, в 1914 - на Лазурный берег Франции. Перед самым вступлением немецких войск в 1914 году в его родной городок художник успевает эмигрировать в Англию. Здесь он живёт в Лондоне, в доме на берегу Темзы. Основной темой для творчества мастера в годы изгнания была эта лондонская река. Картины Э.Клауса с пейзажами Темзы, написанные в постимпрессионистской манере, пользовались большим успехом как в Лондоне, так и в Брюсселе после войны.

После окончания военных действий Э.Клаус возвращается на свою виллу в Астене. Здесь он скончался в 1924 году и был похоронен в своём саду. На могиле мастера был установлен мраморный памятник работы Жоржа Минне.

Э.Клаус является одним из важнейших представителей бельгийского импрессионизма и был одним из тех художников, кто определял само развитие живописного искусства в Бельгии. С 1905 года он - член Антверпенской Академии искусств. Был награждён различными орденами, в том числе бельгийским орденом Леопольда, был кавалером ордена Почётного легиона (с 1904 года).