Топология (от др.-греч. τπος — место и λγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.

История
Раздел математики, который мы теперь называем топологией, берет свое начало с изучения некоторых задач геометрии. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре.

Когда топология еще только зарождалась (конец XIX века), ее называли геометрия размещения (лат. geometria situs) или анализ размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в. Основополагающие работы принадлежат Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Разделы топологии

• Общая топология
• Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.
• Алгебраическая топология
• Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.
  
• Дифференциальная топология
• Дифференциальная топология — раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия.
•  

 Б
База топологии — набор открытых множеств, такой, что любое открытое множество является объединением множеств из базы.
[править]
В
Внутренность — совокупность всех внутренних точек множества.
Внутренняя точка множества — точка, у которой есть окрестность, содержащаяся в данном множестве.
Выколотая окрестность точки p — это окрестность p с вырезанной p.
Всюду плотное множество — множество, замыкание которого совпадает со всем пространством.
[править]
Г
Гомеоморфизм — биекция f, такая, что f и f − 1 непрерывны.
Гомеоморфные пространства — пространства, между которыми существует гомеоморфизм.
Гомотопия непрерывного отображения есть непрерывное отображение , такое, что для любого . Часто используется обозначение , в частности f0 = f
Гомотопные отображения. Отображения называются гомотопными или если существует гомотопия ft такая, что f0 = f и f1 = g.
Гомотопическая эквивалентность топологических пространств X и Y есть пара непрерывных отображений и такая, что и , здесь обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопически эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопический тип.
Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют ту же характеристику. Например: связанность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
Гомотопический тип — см. гомотопическая эквивалентность.
Граница. Смотри относительная граница или граница многообразия.
Граница многообразия. Смотри многообразие.
[править]
Д
Деформационный ретракт
Дискретная топология. Топология, в которой любое множество открыто.
Дискретное множество. Множество, каждая точка которого является изолированной.
Дикий узел
[править]
З
Замкнутое множество — дополнение к открытому.
Замкнутое отображение — такое отображение, что образ любого замкнутого множества замкнут.
Замыкание. Минимальное замкнутое множество, содержащее данное.
[править]
И
Индуцированная топология — топология на подмножестве A топологического пространства, открытыми множествами в которой считаются пересечения открытых множеств объёмлющего пространства с A.
Изолированная точка множества A топологического пространства X — такая точка , что пересечение некоторой её окрестности с A состоит из единственной точки a.
[править]
К
Категория Бэра
Компактное пространство
Компонента связности точки есть максимальное связное множество, содержащее эту точку.
Континуум — связное компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Конус над топологическим пространством X (называемым основанием конуса) — пространство CX, получающееся из произведения стягиванием подпространства в одну точку, называемую вершиной конуса.
Край многообразия, см. многообразие
Кривая есть непрерывное отображение связного подмножества вещественной прямой.
[править]
Л
Линейно связное пространство. Пространство, в котором любую пару точек можно соединить кривой.
Локально компактное пространство. Пространство, в котором любая точка имеет компактную окрестность.
Локально связное пространство. Пространство, в котором любая точка имеет связную окрестность.
Локально стягиваемое пространство. Пространство, в котором любая точка имеет стягиваемую окрестность.
Локальный гомеоморфизм — отображение топологических пространств, такое, что для каждой точки найдется окрестность Ux, которая посредством f отображается в Y гомеоморфно. Иногда в определение локальный гомеоморфизм автоматически включается требование f(X) = Y и, кроме того, отображение f предполагается открытым.
[править]
М
Массивное множество ― подмножество S топологического пространства X, являющееся пересечением счётного числа открытых плотных в X подмножеств. Если каждое массивное множество плотно в X, то X является пространством Бэра.
Метризуемое пространство. Пространство, гомеоморфное метрическому пространству.
Многообразие
Многосвязная область линейно связного пространства — область, фундаментальная группа которой не тривиальна.
Множество Бореля есть множество из борелевской сигма-алгебры
Множество второй категории. Любое множество, которое не является множеством первой категории.
Множество первой категории. Множество, которое можно представить как счётное объединение нигде не плотных множеств.
[править]
Н
Накрытие
Наследственное свойство — свойство топологического пространство такое, что если пространство обладает этим свойством то и любое его подпространство обладает этим свойством. Например: метризуемость и хаусдорфовость.
Непрерывное отображение — такое отображение, при котором прообраз любого открытого множества открыт.
Нигде не плотное множество — множество, замыкание которого не содержит открытых множеств (замыкание имеет пустую внутренность).
[править]
О
О́бласть — открытое связное подмножество топологического пространства.
Односвя́зное простра́нство — связное пространство, любое отображение окружности в которое гомотопно постоянному отображению.
Окрестность — открытая окрестность или множество, содержащее открытую окрестность.
Откры́тая окре́стность точки или множества — открытое множество, содержащее точку или множество.
Откры́тое мно́жество — основное понятие общей топологии, смотри топологическое пространство.
Откры́тое отображе́ние — такое отображение, что образ любого открытого множества открыт.
Относи́тельная грани́ца — пересечение замыкания подмножества топологического пространства с замыканием его дополнения. Граница множества E обычно обозначается .
Относи́тельная топология — то же, что индуцированная топология.
Относи́тельно компа́ктное мно́жество — подмножество топологического пространства называется относительно компактным или предкомпа́ктным, если его замыкание компактно.
[править]
П
Паракомпактное пространство — топологическое пространство, из любого открытого покрытия которого можно выделить локально конечное подпокрытие (то есть такое, что для любой точки можно найти окрестность пересекающуюся с конечным числом элементов этого подпокрытия).
Плотное множество
Подпокрытие покрытия {Vα}, — это покрытие {Vβ}, где .
Подпространство — подмножество топологического пространства, снабжённое индуцированной топологией.
Покрытие подмножества или пространства X — это представление его в виде объединения множеств {Vα}, , точнее это набор множеств {Vα}, такой что . Чаще всего рассматривают открытые покрытия, то есть предполагают что все {Vα} являются откытыми множествами.
Предбаза — семейство Y открытых подмножеств топологпческого пространства X такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов Y, образует базу X.
Предельная точка подмножества A топологического пространства X — такая точка , что в любой её выколотой окрестности с A есть хотя бы одна точка из A.
Производное множество — совокупность всех предельных точек.
[править]
Р
Разбиение единицы
[править]
С
Связное пространство. Пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся (<=> dis, дизъюнктное) открытых множества.
Сепарабельное пространство — топологическое пространство, в котором имеется счётное всюду плотное множество.
Стягиваемое пространство — пространство, гомотопически эквивалентное точке.
[править]
T
Топологический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомеоморфизме. То есть если два пространства гомеоморфны то они имеют ту же характеристику. Например: компактность, связанность, фундаментальная группа, Эйлерова характеристика.
Топологическое пространство
Топология компактной сходимости. Топология, заданная на множестве непрерывных вещественных функций, определяемая семейством преднорм , называется топологией компактной сходимости.
Топология равномерной сходимости. Пусть на векторном пространстве L(K) непрерывных функций f на компактном топологическом пространстве K определена норма . Топология, порождённая такой метрикой называется топологией равномерной сходимости.
Точка накопления множества M — точка топологического пространства, в любой проколотой окрестности которой содержится хотя бы одна точка M.
Точка полного накопления множества M ― точка в топологическом пространстве X такая, что пересечение M с любой окрестностью x имеет мощность ту же, что и все множество M.
Точка прикосновения подмножества M топологического пространства — точка, любая окрестность которой содержит хотя бы одну точку из M. Множество всех точек прикосновения совпадает с замыканием .
[править]
Ф
Факторпространство топологическое
Фундаментальная группа
[править]
Х
Хаусдорфово пространство. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если любые две различных точки x и y из X обладают непересекающимися окрестностями.
[править]
Литература
Бурбаки, Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
Виро, О. Я., Иванов, О. А., Харламов, В. М., Нецветаев, Н. Ю. Задачный учебник по топологии..
 

http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса

Лента Мебиуса

Её называют по-разному: лентой, петлей или просто листом. Практически в одно и то же время двое научных деятеля открыли этот загадочный и непостижимый уму простых людей объект.

Немец Август Фердинанд Мебиус  

Иоганн Бенедикт Листинг 

 Отрезав тонкую длинную полоску бумаги  и развернув один конец бумажной ленты вполоборота, нужно закрепить оба конца между собой. 

В чем же заключается особенность этого объекта? Во-первых, если взглянуть на петлю Мебиуса с точки зрения геометрии, то вы увидите, что она представляет собою одну плоскость. И это удивительно – ведь изначально бумажная лента, из которой сделали этот интересный объект, имела две плоскости, две стороны. Но попробуйте взять в руки карандаш и провести линию вдоль всей ленты Мебиуса. И вы увидите, что линия карандаша пройдет по всей её длине, а вы при этом даже не оторвете руки от бумаги. Это возможно лишь в том случае, если предмет, на котором вы рисуете, имеет лишь одну плоскость.

Во-вторых, интересными окажутся результаты разрезания ленты Мебиуса напополам. Если вы попробуете разделить петлю на две части одинаковой ширины, - у вас ничего не получится. Ведь в случае, когда ленту Мебиуса разрезают напополам, получается не две петли, а одна, длина которой превосходит длину «первоисточника» ровно в два раза. Правда, получившаяся лента будет иметь несколько больше закрученных витков, чем та, из которой её сделали. Кстати, в народе новообразовавшаяся после разрезания лента получила название «афганской ленты».

Но если вы будете орудовать ножницами не посередине петли Мебиуса, а практически у самого её края, вы всё же получите две новые ленты. Одна будет точной копией изначально взятой ленты Мебиуса, а из второй части получится уже описанная выше «афганская лента».

А в случае, если вы решите поэкспериментировать, и создать ленту Мебиуса не с одним, а с двумя, тремя или более завитками (что, в принципе, не составит особых трудностей), но в результате разреза этих петель вы можете получить занимательнейшие фигуры и узоры.

Лента Мебиуса хоть и неказиста, проста на вид, всё же является объектом чуть ли не поклонения не только математиков, а и деятелей искусства. Некоторые скульпторы, писатели и художники посвятили всё своё творчество описанию именно этого небольшого, но такого загадочного и таинственного объекта. Среди них назовем знаменитого Эшера, Артура Кларка, Владислава Крапивина… их список достаточно объемен. Кроме того, структуру ленты Мебиуса использовали конструкторы при изготовлении некоторых приборов.

Как видите, небольшая полоска бумаги с одним полувитком может стать предметом восхищения, объектом искусства и большой загадкой для умов человечества.

http://www.im-possible.info/russian/articles/mobius-strip/mobius-strip.html

Бутылка Кляйна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Кляйна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Кляйном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мебиуса. Исходное название бутылки Кляйна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Кляйна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Кляна" также вошел в обиход и в Германии.

Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Кляйна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой.

В отличие от реальных бутылок, поверхность Кляйна не имеет границы, где бы она прерывалась. В отличие от шара или тора, муха, ползущая по поверхности бутылки Кляйна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.
 

Лента Мёбиуса
В одной руке у вас ножницы. В другой большое кольцо, склеенное из длинной бумажной ленты. Ножницы протыкают эту ленту и аккуратно разрезают ее вдоль - точно посередине. "Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца. Еще последний "вжик" - и..." Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального.
"Такого не бывает", - скажете вы. Бывает. И даже еще не такое. Если только в руках у вас не обычное бумажное кольцо, а удивительная лента Мебиуса.


Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.
Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.
Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Точно посередине - вы уже пробовали. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма "затейливое" переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!
Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.
Однако свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди - и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.
Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить.
Что ж, любопытство ваше оправдано. И у вас есть отличная возможность удовлетворить его самостоятельно! Но при том неплохо было бы воспользоваться такими советами:
1. Взять не бумажную ленту, а полоску любой ткани.
2. Продеть ее сквозь металлическое кольцо.
3. Повернуть один из концов полоски на 3 оборота, т.е. на 540 градусов.
4. Сшить оба конца.
Теперь можно взять ножницы и аккуратно разрезать матерчатое кольцо вдоль посередине. Ножницы лучше брать небольшие и непременно с тупыми концами, дабы в порыве научного любопытства не повредить своему здоровью.
Интересно, кстати, было бы узнать, что у вас получится в результате этого эксперимента?
Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4... Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".
И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - ТОПОЛОГИЯ.
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.
 

http://www.cofe.ru/read-ka/article.asp?heading=92&article=9242