Андрей Мягков окончил Школу-студию МХАТ в 1965 году, после чего поступил в «Современник», а в 1977 году перешел в МХАТ. После раскола театра в 1987 году актер остался с Олегом Ефремовым — в МХТ им. А. П. Чехова.

Всенародную известность артисту принесли роли в кино, в том числе в фильмах Эльдара Рязанова — «Ирония судьбы, или С легким паром» (за роль Лукашина актер получил Государственную премию СССР), «Служебный роман», «Гараж». Кроме того, Мягков сыграл в таких знаменитых картинах, как «Братья Карамазовы», «Дни Турбиных», «Жестокий романс» и других.

За свою работу в кино и театре Андрей Мягков был награжден орденом Почета (1998), орденом Дружбы (2013) и орденами «За заслуги перед Отечеством» III и IV степеней (2003 и 2019 годы), удостоен звания «Народный артист РСФСР».

Артисту было 82 года.

Выражаем соболезнования родным и близким Андрея Васильевича. Светлая память.