Что такое геометрия Финслера и почему ее нужно понимать физикам

В. Г. Жотиков zhotikov@yandex.ru

Московский физико-технический институт

Лекция для преподавателей физики ВУЗОВ России 12.10.2012

План лекции

Общие соображения и мотивации

Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия

Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности

Об устойчивости физических структур

Заключение

Общие соображения и мотивации

В последнее время в физической литературе наметился серьезный интерес к идеям и методам геометрии Финслера и их приложениям к проблемам современной физики от квантовой гравитации и физики микромира до астрофизики и космологии. Это представляется не случайным. Мы видим в этом начало осознания необходимости перехода к новой парадигме физики. Здесь, несомненно, напрашивается известная аналогия с введением в физику геометрии Римана. Последняя была сформулирована в 1864 году Р. Риманом (1826 – 1866) , тогда, как оказалась востребованной в физической науке почти через полвека, в связи с созданием общей теории относительности (А. Эйнштейн и М. Грассман (1916)). Общие соображения и мотивации Сам создатель теории относительности хорошо понимал, что созданное им не есть истина в последней инстанции и не может быть справедливым для масштабов микромира. Он писал: «Защищаемое здесь истолкование Геометрии нельзя непосредственно применять к субмолекулярным (меньшим чем молекулы) пространствам... может оказаться, что такое экстраполирование столь же неправильно, как и распространение понятия температуры на частицы тела молекулярных размеров»

1 . 1Эйнштейн А. Геометрия и опыт. (1921) Собрание научных трудов. М.: Наука, Т. 2. C. 83.

Общие соображения и мотивации

Почему геометрия Финслера? Геометрия Финслера имеет дело с неточечными объектами. Риманова геометрия есть частный случай финслеровой геометрии. В геометрии Финслера Принцип относительности (ПО) выполняется автоматически.

1. Общий принцип относительности =⇒(ОТО): «Все законы природы независимы от выбора (совершенно произвольного) систем отсчета».

2. Специальный принцип относительности =⇒ (СТО) «Все физические процессы в инерциальных системах отсчета (ИСО) протекают одинаково» + 2-й постулат (постоянство скорости света). В финслеровой геометрии 2-й постулат СТО становится избыточным. Общие соображения и мотивации

О применении идей и методов геометрии Финслера в современной физике 1.Д. И. Блохинцев Геометрия и физика микромира. УФН, Том 110 (вып. 4), 1973. С. 481

. «Можно полагать, что и в случае микромира метрика пространства-времени может быть продиктована полем элементарных частиц». 2. Д. А. Киржниц, В. А. Чечин Космические лучи сверхвысоких энергий и возможное обобщение релятивистской теории. ЯФ, Том 15 (вып. 7), 1972. С. 1051.

«Расхождение между теорией и экспериментом наметившееся в физике космических лучей может быть отнесено за счет нарушения релятивистской динамики в области больших энергий и скоростей».

О многообразии геометрии

Начнем с терминологии. Уже в девятнадцатом столетии математики пришли к мысли о том, что существует не одна, а много геометрий. В общеупотребительном в настоящее время смысле, геометрия есть теория пространства, а пространство есть система объектов, называемых обычно «точками», вместе с системой соотношений, которыми эти точки связаны, причем, эта система соотношений до некоторой степени аналогична тем, или иным соотношениям между элементами физического пространства. Пространство, следовательно, есть не просто абстрактное множество объектов, но и множество объектов с определенной системой свойств и отношений. О многообразии геометрии Например, структура так называемого метрического пространства определяется некоторой функцией 4(P, Q), аргумент которой есть пара «точек», и значения которой — некоторые числа. 4(P, Q) называется расстоянием между «точками» P, Q.

Часто встречающиеся в литературе названия: геометрия Лобачевского – «гиперболическая», геометрия Римана – «эллиптическая», а евклидовой геометрии – «параболическая» принадлежат Ф. Клейну (1849 – 1925). Всемирную славу Ф. Клейну принесла его знаменитая «Эрлангенская программа». Он изложил ее в 1872 году в своей лекции при вступлении в должность профессора математики университета г. Эрланген (Германия).

О многообразии геометрии В указанной лекции Ф. Клейн сформулировал единую точку зрения на геометрию как на теорию инвариантов соответствующей группы преобразований. Название геометрии как правило совпадает с названием группы преобразований, например: евклидова, аффинная, эквиаффинная, центрально-проективная, проективная и т. д. Классификация групп преобразований дает классификацию геометрий, а теория инвариантов каждой группы дает аналитическую структуру соответствующей геометрии. Соответствующие группы преобразований называют фундаментальными группами каждой из геометрий. О многообразии геометрии Центральная идея «Эрлагенской программы» Ф. Клейна связана с понятием группы. То есть, такой совокупности преобразований, которая подчиняется следующим условиям:

1) произведение двух преобразований совокупности принадлежит той же совокупности;

2) преобразование, обратное любому преобразованию совокупности, принадлежит той же совокупности;

3) наличие тождественного преобразования.

Таким образом, Ф. Клейн пришел к расширенному пониманию геометрии, формулируя ее задачу следующим образом. Дано многообразие и в нем группа преобразований. О многообразии геометрии Нужно исследовать те свойства образов, принадлежащих многообразию, которые не изменяются при преобразованиях группы. Из этого определения следует, что существуют различные геометрии. Они могут отличиться друг от друга характером элементов многообразия и строением группы. Последнее отличие является наиболее существенным. Если геометрии различаются между собой по характеру элементов многообразия но их фундаментальные группы изоморфны2 , то каждому факту одной геометрии будет соответствовать факт другой. При этом, каждую из них можно изучать на основе другой. 2изоморфными называются группы, если между их преобразованиями можно установить взаимно однозначное соответствие О многообразии геометрии В качестве примеров геометрий, характеризуемых группами преобразований, Ф. Клейн назвал, кроме элементарной, или евклидовой геометрии, аффинную, неевклидовы геометрии пространств положительной и отрицательной кривизны и проективную геометрию. Последняя является наиболее общей: фундаментальные группы всех предыдущих геометрий изоморфны некоторым подгруппам проективной группы. Геометрия разветвляется на отдельные виды в соответствии с той или иной группой преобразований. Задача каждой геометрии состоит в изучении тех ее свойств, которые остаются инвариантными относительно соответствующей группы преобразований. В этом состоит основная мысль Программы Ф. Клейна. Так развивалась геометрия до середины XX-го века. Общие соображения и мотивации С указанной точки зрения, пространство-время СТО представляет собой 4-х мерное вещественное аффинное (более строго, эквиаффинное!) пространство M4 = R 4 1 с невырожденной метрикой сигнатуры (1, 3). Пространство M4 называется в физической литературе пространством Минковского. Аффинные (линейные неоднородные преобразования) пространства M4 определяют группу Пуанкаре. Подгруппа однородных преобразований группы Пуанкаре носит название группа Лоренца. Приходим, к центральной (экви-)аффинной геометрии. Преобразования Лоренца (их называют бусты) не образуют группу преобразований. Не путать термины релятивистская инвариантность и лоренц-инвариантность!. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Как связать квантовую физику с геометрией? Кванты были ведены М. Планком в 1900 г. как наименьшие порции энергии излучателя. М. Планк с самого начала ясно видел, что фундаментальной величиной является не квант энергии hν, а квант действия h = 6, 62 · 1027 эрг.сек. Он связывал это с инвариантностью действия относительно преобразований координат. Количество действия изменяется дискретным образом как целое кратное величины h. А. Зоммерфельд (1911): «Не h следует выводить из размеров атомов, а само существование атомов является функцией и следствием элементарного кванта действия» (квантовый постулат Бора-Зоммерфельда). Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Уже давно было замечено, что все события совершаются в Природе так, что вариация некоторой величины S, которая называется действием физической системы, равняется нулю: δS = 0. (1) По-существу, это и есть основной закон всей современной физики (см., например, В. Арнольд3 и др.). Все другие законы Природы, такие как закон всемирного тяготения, законы электромагнетизма, законы взаимодействия элементарных частиц и т. д. и т. п., следуют из него. 3Арнольд В. И. Математика и физика: родитель и дитя или сестры? УФН. Том 169, № 12 (1999) О геометрической интерпретации принципа наименьшего действия К геометрии Финслера (П. Финслер, 1918) мы приходим давая геометрическую интерпретацию принципа наименьшего действия 4 s[γ] = Z t2 t1 L(q, q˙) dt. (2) L(q, q˙) – функция Лагранжа (лагранжиан) исследуемой системы; q ≡ q α ∈ X n — обобщенные координаты, q˙ ≡ q˙ α , (q˙ α = dqα dt ) – обобщенные скорости, α = 1, ..., n. n – количество всех степеней свободы. Многообразие X n : P(q) = P(q) ∈ X n называют геометрическим пространством Веблена-Уайтхеда. 4V. Zhotikov Finsler geometry and the equations of the movement in the relativistic dynamics. Proceedings of the XV International Scientific Meeting PIRT–2009. Moscow, 2009. P. 133 – 144 Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Задача ставится следующим образом. Необходимо построить геометрию, в которой каждой геометрической кривой γ выражение (2) ставит в соответствие определенное число s = s[γ], которое можно назвать длиной дуги кривой γ в некотором геометрическом пространстве X n . Экстремали функционала (2) (траектории, описываемые уравнениями Эйлера-Лагранжа) — суть геодезические (кратчайшие) этого пространства X n . Мерой измерения расстояний в этом пространстве является постоянная Планка h. Эта задача и была решена П. Финслером (1894 – 1950) в его дисссертации «Uber Kurven and Flachen in allgemeinen Raumen»: Dissertation. – Gottingen, (1918). Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Инвариантность интеграла действия (2) относительно преобразований общего вида t → t 0 (t); q α → q α0 = q α0 (q α ),(Det| ∂q α0 ∂q α | 6= 0) (3) накладывают ограничения на структуру функции Лагранжа L(q, q˙). Она должна быть: 1) положительно однородной первой степени относительно обобщенных скоростей; 2) неотрицательной (L(q, q˙) > 0) для q˙ 6= 0); 3) квадратичная форма gαβξ α ξ β от переменных ξ α 6= 0 где gαβ = 1 2 ∂ 2L ∂q˙ α∂q˙ β положительно определена. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Условия 1) — 3) дают классическое определение метрики Финслера. Условие однородности приводит нас к рассмотрению релятивистских лагранжианов (П. Дирак). Геометрическое пространство X n с заданной в нем метрикой Финслера называется пространством Финслера и обозначается F n . Уравнение5 L(q α , x α ) = 1, x α ∈ T n (P), P ∈ X n (4) в каждом касательном T n (P), P ∈ X n описывает некоторую локальную гиперповерхность. Ее называют поверхностью лагранжиана единичного действия или локальной индикатрисой метрики Финслера. 5Принята система единиц h = c = 1. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Индикатриса (см. ФЭ) (от латинского слова indico — указываю, определяю) указательная поверхность, вспомогательная поверхность, характеризующая зависимость каких либо свойств среды от направления. Для построения индикатрисы из одной точки (центра) проводят радиус-векторы, длина которых пропорциональна величине, характеризующей данное свойство среды в данном направлении. Например: электропроводность, показатель преломления, модули упругости и т.д. Понятие локальная индикатриса метрики является одним из ключевых понятий в геометрической интерпретации принципа наименьшего действия. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера О физическом смысле понятия индикатрисы метрики Локальная индикатриса — гиперповерхность в каждом локальном касательном T n (P), P ∈ X n отвечающая единичной плотности действия. Ее размерность равна m = n − 1. Функция Лагранжа есть метрическая функция для пространства конфигураций X n . Каждому лагранжиану соответствует своя локальная индикатриса, определяющая метрику в пространстве X n . Задание локальной индикатрисы, т. е. некоторой поверхности единичного действия с самого начала обеспечивает введение всех необходимых процедур измерения физических величин решаемой задачи. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Общая теория относительности (ОТО) приобретает смысл, заложенный в ее названии, только когда она дополнена методом задания систем отсчета. Аналогичным образом, в сопряженном локальном касательном пространстве T ∗n (P), соответствующем T n (P) P ∈ X n строится гиперповерхность (семейство гиперплоскостей) H(q α , yα) = 1, yα ∈ T ∗n (P), P ∈ X n , (5) где H – гамильтониан системы. Эту гиперповерхность называют локальной поверхностью гамильтониана или локальной фигуратриссой метрики Финслера. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Уравнения L(q α , x α ) = 1, x α ∈ T n (P), P ∈ X n (6) H(q α , yα) = 1, yα ∈ T ∗n (P), P ∈ X n (7) определяют контравариантную и ковариантную векторные метрики в F n . Теорема взаимности: Локальная поверхность гамильтониана ΠH (локальная фигуратриса) есть взаимно полярная поверхность для поверхности лагранжиана ΠL (локальная индикатриса) и обратно. Это есть «математическое оформление» известного соотношения де-Бройля λ = h p (h = c = 1). Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Геометризация интеграла действия (2) становится особенно наглядной и удобной, если перейти от (6) и (7) к векторно-параметрической форме записи уравнения локальной индикатрисы: x α = ` α (q α , Θ a ) = 1, a = 1, 2, ..., n − 1, (8) yα = `α(q α , Θ a ) = 1, a = 1, 2, ..., n − 1. (9) Здесь Θa – параметры, определяющие положение точки или касательной гиперплоскости на указанной поверхности Θa ∈ X n−1 . Состояние частицы описывается координатами положения точки на локальной индикатрисе. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Согласно В. Вагнеру 6 пространство Финслера F n есть расслоенное пространство — математический аналог термина фазовое пространство). Базой его является пространство конфигураций X n , а слоями — касательные пространства T n с заданными в них локальными индикатрисами X n−1 . Приходим к расслоенному пространству X n−1 (X n ), которое есть геометрическая модель принципа наименьшего действия для случая обыкновенного интеграла (2). 6Вагнер В. Геометрия Финслера как теория поля локальных поверхностей. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. VII (1949). C. 65. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Геометрия риманова пространства R n (при n = 4 имеем математический фундамент ОТО) есть частный случай геометрии финслерова пространства F n . Она сводится к теории поля локальных центральных гиперповерхностей второго порядка. Их центры совпадают с центрами соответствующих локальных касательных T n . Итак, математический аппарат ОТО есть частный случай геометрии Финслера: R 4 ⊂ F 4 . Это приводит к серьезным и далеко идущим следствиям. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Пример. Метрическая функция «свободной» релятивистской частицы без заряда и спина в СТО (пространство Минковского M4 ); n = 4; q α ≡ x α , α = 0, 1, ..., 3; X 4 ≡ E 4 L(x, x˙) = m √ x˙ 2 . (10) Индикатриса метрики для (10) — 3-мерный гиперболоид (3-псевдосфера) с центром в каждой точке E 4 x α = l α (Θa ), a = 1, 2, 3 (11) лежит на световом конусе с вершиной в каждой точке E 4 Уравнения (11) задают метрику Минковского. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрическая функция и индикатриса метрики Финслера Другими словами геометризация действия «свободной» релятивистской частицы (без заряда и спина!) приводит к геометрии пространства Минковского M4 . Метрику можно задавать в векторной (посредством задания индикатрисы), либо тензорной формах. Локальная фигуратриса в соответствующем локальном T ∗4 (пространство 4-импульсов ) является двойственным индикатрисе геометрическим образом. Уравнение фигуратрисы есть уравнение «массовой поверхности» для частицы единичной массы. E 2 − p 2 = m 2 , (m 2 = 1). (12) Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Уравнения движения (уравнения Эйлера-Лагранжа) свободной релятивистской частицы dxα ds = `(Θa ), dΘa ds = 0,(α = 0, ....3; a = 1, 2, 3). (13) Имеем уравнения движения записанные сразу для всех инерциальных наблюдателей. Здесь пространство-время F 4 «вырождается» в пространство M4 . Пусть теперь имеем дело со «свободной» частицей обладающей зарядом, например, электрон. Последний поляризует вакуум вокруг себя. Вместо (10) получаем L(x, x˙) = m q gαβ(x)x˙ αx˙ β (14) Этот частный случай пространства Финслера F 4 называют локально-анизотропным пространством Минковского. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Метрика Лагранжа Пусть теперь на систему наложены p связей Φp(q, q˙) = 0, (p = m + 1, ..., n). (15) Имеем задачу Лагранжа в вариационном исчислении. Индикатриса метрики задачи Лагранжа будет m-мерной поверхностью X m(P) где m = 1, ..., n − 1. Приходим к понятию метрика Лагранжа. Геометрически задача сводится к теории поля локальных поверхностей ` α = ` α (q β , Θ a ), (α, β = 1, ..., n; a = 1, ..., m). (16) В частном случае пространства X n с метрикой Лагранжа при m = n − 1 возвращаемся в пространство F n . Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Связность в расслоенном пространстве Объект связности в расслоенном пространстве X m(X n ) Γ a = Γa (q α , Θ a ) (17) определяет отображения локальных m-поверхностей X m(P) вдоль произвольных линий q α = q α (t) базисного пространства X n . Теорема (Жотиков Г. И: 1965) Связность Γ a в расслоенном пространстве X m(X n ) определяется инвариантным образом через фундаментальную систему геометрических объектов m-поверхности G a ab, G r ap, g p ab, g b ap, v a , v p являющихся функциями переменных q α и Θa . Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Уравнения движения релятивистской динамики Уравнения движения в X m(X n ) имеют вид: dqα ds = ` α (q λ , Θ a ) (18) dΘa ds + Γa c v c (q λ , Θ b ) + Γa p v p (q λ , Θ b ) = 0. (19) Здесь Γ a c и Γ a p есть коэффициенты разложения объекта связности Γ a (q α , Θa ) по базисным 1-формам ` a и ` p , p – число уравнений связей. При p = 0 возвращаемся в F n . Система (18), (19) есть геометрически-инвариантная форма уравнений движения релятивистской динамики. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия Уравнения движения релятивистской динамики Принципиальным отличием геометрической формы уравнений движения (18, 19) от лагранжевой и гамильтоновой форм уравнений движения состоит в том, что ее уравнения описывают движения в фазовом пространстве (с введенной в нем набором метрологических процедур измерения физических величин), т. е. относительно полного ансамбля произвольных наблюдателей в том числе и неинерциальных!. Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Калибровочный принцип наряду с вариационным принципом является одним из краеугольных принципов современной физики. Термины «калибровочная симметрия» и «калибровочные преобразования» были введены Г. Вейлем (H. Weyl) примерно в 1920 году. Калибровочные преобразования в электродинамике: тензор электромагнитного поля Fµν(x) и уравнения Максвелла не изменяются если 4-вектор-потенциал Aµ(x) ЭМ-поля преобразуется как Aµ(x) → Aµ(x) + ∂µf (x), µ = 1, ..., 4. (20) ∂µf (x) – градиент от произвольной скалярной функции f (x) координат пространства-времени. Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Существенный вклад в осознание роли калибровочных преобразований в физике внес В. И. Фок (1898 – 1974). Калибровочные преобразования могут быть записаны так: L → L 0 + df (q) dt . (21) f (q) – произвольная функция от обобщенных координат. Геометрическую интерпретацию калибровочным преобразованиям дал великий математик XX века В. Вагнер (V. Wagner) в 1945 году. 7 система единиц c = h = 1 7Вагнер В. Гомологическое преобразование метрики Финслера. ДАН СССР, Том 46, № 7. 1945. С. 287. Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Будем иметь дело с пространством F 4 . Геометрическая интерпретация преобразований (21): 0 pα = pα − σα, (22) 0 x α = x α 1 − σβx β , (23) σα = ∂αf (q) – градиент скалярной функции f (q). В случая F 4 имеем простую физическую интерпретацию: p = (E, p) – 4-вектор импульсного пространства, x = (t, x) – 4-вектор координатного пространства. Преобразования (22) в импульсном пространстве индуцируют в координатном пространстве преобразования (23). Соответственно преобразования (23) в координатном пространстве индуцируют преобразования (22) в импульсном пространстве . Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Геометрическая интерпретация калибровочных преобразований приводит к одной из подгрупп группы проективных преобразований. Она называется группой гомологических преобразований. Термины гомология и гомологические преобразования введены в геометрию Ж. Понселе (J. Poncelet: 1822) В вариационном исчислении преобразования (21) называются преобразованиями Каратеодори 8 . Он первым применил их для получения достаточных условий функционалов действия типа (2) 8Caratheodory C. Variationsrechnung. Leipzig, Berlin, 1935. P. 197 Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Гомология (греч. homologia) — соответствие В проективной геометрии на плоскости – автоморфизм проективной плоскости P 2 при котором одна прямая (ось гомологии) и точно одна точка (центр гомологии) переходят в себя. Проективная плоскость P 2 – замкнутая односторонняя поверхность наподобие листа Мебиуса. Группа гомологий и группа вращений образуют группу центрально-проективных преобразований. Проективная геометрия находит в физике важное применение. Она обеспечивает геометрическую интерпретацию калибровочным преобразованиям и, в целом, принципу калибровочной инвариантности. Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Если дифференциальными инвариантами евклидовой и псевдоевклидовой геометрий является квадрат дифференциала эквиаффинной длины траектории ds2 = const, то в проективной геометрии этот инвариант обобщается. Теперь он выглядит так: dκ · ds2 = const. (24) Здесь dκ – дифференциал эквиаффинной кривизны траектории. Движение тел по таким (плоским) траекториям (орбитам) есть движение по инерции. Этому условию удовлетворяют кривые второго порядка: эллипс (окружность), гипербола и парабола. Что дает инвариант (8) dκ · ds2 = const? Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности Уравнения движения выводятся из принципа наименьшего действия. Используется естественное соображение о эквивалентности между собственным временем τ часов с длиной дуги их траектории: τ = Z γ ds. (25) Здесь ds – дифференциал эквиаффинной длины дуги траектории. В нашем случае будет иметь место более общее соотношение для собственного времени τ : τ = Z γ √3 dκ · ds2 . (26) Приходим к более общему, классу решений уравнений движения свободной частицы.

Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности

Фундаментальные истины даются не просто. Чтобы понять, что существуют движения по инерции, потребовалось примерно 2 тысячи лет — от Аристотеля до Ньютона. Чтобы осознать, что инерциальное движение может быть и ускоренным, потребовалось еще около 300 лет — от Ньютона до наших дней. Так, свободное падение в гравитационном поле есть инерциальное движение в неинерциальной системе отсчета. Движение пробных тел по законам Кеплера как раз и представляют собой ускоренные, но инерциальные (состояния) движения пробных тел — движения по инерциальным траекториям. Об устойчивости физических структур Первая вариация действия обеспечивает стационарность траектории (необходимые условия экстремума действия), но не ее устойчивость. За устойчивость несут ответственность достаточные условия экстремума. Исключительная устойчивость атома водорода объясняется тем, что при движении электрона в этой системе (атом водорода) не происходит рассеяния энергии в пространство. Представленные результаты применимы не только для микромира. Ток в сверхпроводнике не затухает в силу тех же квантовых причин, что и движение электронов в атомах, но при этом может распространяться на макроскопически большие расстояния.

Заключение

1. Геометрическая интерпретация принципа наименьшего (экстремального) действия приводит к геометрии пространства Финслера F n .

2. Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности приводит к необходимости введения в физику идей и методов проективной геометрии. Это дает основание для развития новых методов исследования физических структур и понимания истинной роли сил и полей инерции в Природе.

6. Метрику следует рассматривать как «вторичный», т.е. не фундаментальный объект теории. Заключение

К 6-й проблеме Гильберта На II-м Международном конгрессе математиков (Париж, 1900 г.) Д. Гильберт сформулировал свои, ставшие вскоре знаменитыми 23 проблемы. Эти проблемы должны были стать главными целями исследований для будущих поколений математиков мира. 6-я проблема — построение аксиоматики физики. В физике такими принципами (аксиомами) оказываются:

1) принцип наименьшего (экстремального) действия;

2) принцип калибровочной инвариантности. Геометрическая интерпретация указанных принципов была нами продемонстрирована.

Заключение

Физика есть единая наука. «Несмотря на ставшую уже общепринятой традицию делить физику на микроскопическую и макроскопическую, в действительности нет четкой границы между ними. Проведение такой границы зависит от уровня наших знаний, и граница постоянно «передвигается». В частности, квантование и возникновение замкнутых орбит (стоячих волн) вовсе не является привилегией только микросистем.» (Ф. А. Гареев, ОИЯИ)

А. Эйнштейн: «Физика — есть геометрия + опыт». Смысл этой фразы становится теперь понятным. 

Первичный нуклеосинтез вновь преобразовал состав горячей плазмы юной Вселенной. А вот потом в течение 400 тысяч лет она не претерпевала никаких качественных превращений. Все это время, во‑первых, остывал радиационный фон, причем весьма быстро, пропорционально четвертой степени растущего линейного размера Вселенной. Во‑вторых, уменьшалась плотность и обычной, и темной материи, но несколько медленней (как третья степень). Плотность фотонной энергии падала быстрее, поскольку растяжение пространства не только рассеивало кванты по все большему и большему объему, но и увеличивало длины их волн, тем самым снижая частоты. Когда Вселенной стукнуло 57 тысяч лет, плотность лучевой энергии сравнялась с плотностью энергии частиц, а потом начала от нее отставать — наступил конец радиационной эры.

Эхо большого взрыва

Звук в любой газовой среде — это колебательный процесс, в ходе которого в ней распространяются волны большей и меньшей плотности, волны сжатия и разрежения. В воздухе звук переносится благодаря столкновениям между молекулами газа. Для того состояния космической плазмы, которое она приобрела через несколько десятков тысяч лет после Большого Взрыва, этот механизм был малоэффективен из-за ничтожной плотности заряженных частиц. Например, в возрасте 100 тысяч лет каждый кубический сантиметр пространства содержал 2 тысячи электронов и меньше двухсот ядер гелия. Однако в этом же объеме находилось приблизительно 3 триллиона фотонов, которые и создавали упругую среду. Хотя давление в этой среде, по нашим понятиям, было крайне низким, всего одна стотысячная атмосферы, звук в ней распространялся с чрезвычайно высокой скоростью, равной почти 60% скорости света. В зонах максимума лучевого давления температура и яркость фотонного газа возрастали, в зонах минимума — падали. Теперь вспомним, что фотоны не особенно больших энергий никак не замечают присутствия друг друга. Поэтому в фотонном газе звуковые колебания могли распространяться лишь в присутствии заряженных частиц, на которых рассеивались световые кванты. Как только произошла рекомбинация, свежеиспеченные атомы прекратили чувствовать давление света, а освободившиеся фотоны разлетелись по космическому пространству. Существовавшие в те времена колебания плотности фотонного газа законсервировались до наших дней. Как показывают приборы, температура реликтовых фотонов, пришедших из разных участков небосвода, колеблется с амплитудой порядка одной стотысячной. Эти осцилляции и есть следы звуковых волн, некогда распространявшихся в фотонном газе.

Каким тогда казался бы Космос разумному наблюдателю, если бы таковой существовал? Когда Вселенной стукнуло 50 тысяч лет, она вперые засветилась видимым для нас голубым светом (до этого реликтовые фотоны были ультрафиолетовыми, а еще раньше, когда возраст Вселенной двигался от полутора минут к 600 годам — рентгеновскими). К 200 тысячам лет цвет фотонного фона сместился от голубого к желтому, еще через 200 тысяч лет стал оранжевым, а по достижении миллиона лет сделался темно-красным. В возрасте 5 миллионов лет температура Вселенной упала до 600 К, практически все реликтовые фотоны перешли в инфракрасную зону, и в космическом пространстве настала беспросветная тьма. Она начала рассеиваться лишь после появления самых первых звезд, где-то через 200 миллионов лет после Большого взрыва.

Но что же все-таки произошло через 400 (точнее, 380) тысяч лет после Большого взрыва? Несколькими десятками тысяч лет ранее электроны начали объединяться с ядрами. Сначала альфа-частицы присоединяли к себе по единственному электрону, и превращались в однократно ионизированные атомы, а затем и по второму, так что получались нейтральные атомы гелия. Позднее это же случилось и с протонами, которые положили начало атомам водорода. Подобные слияния стали возможными потому, что в лучевом фоне сократилось количество фотонов с энергией больше энергии ионизации атомов гелия и водорода. Процесс рекомбинации растянулся на 80 тысяч лет и практически завершился, когда температура фотонного фона упала ниже 3000 К. Повторилась трансформация, имевшая место в односекундной Вселенной — тогда пространство стало прозрачным для нейтрино, а теперь — для квантов электромагнитного излучения. Остывшие фотоны уже не могли рассеиваться на нейтральных атомах и, как некогда нейтрино, отправились в беспрепятственное путешестие по космосу. Эти реликтовые фотоны, остывшие с тех пор до 2,7 К, мы называем фоновым микроволновым излучением.

Небесные экстремалы

Межзвездный газ относительно спокоен лишь вдалеке от массивных обитателей космического пространства, а в их окрестностях он значительно нагревается и обретает множество экзотических свойств. «Компактные космические объекты, такие как нейтронные звезды и черные дыры, нередко имеют компаньонов в лице обычных звезд. Такой объект своим гравитационным притяжением вытягивает вещество из атмосферы звезды-соседки, и вокруг него формируется так называемый аккреционный диск. Температура во внутренних зонах такого диска достигает миллиона градусов. Эти области заполнены вращающейся горячей плазмой, которая выдает себя рентгеновским излучением. В этой плазме возникают магнитные поля, которые могут стать причиной образования джетов — струйных выбросов плазменных частиц, направленных перпендикулярно плоскости аккреционного диска, — объясняет «ПМ» специалист по теоретической астрофизике из Принстонского университета Анатолий Спитковский. — Еще более экстремальная плазма существует около поверхности быстро вращающихся намагниченных нейтронных звезд. Там имеются мощные электрические поля, которые отрывают электроны с поверхности звезды и разгоняют их вдоль закрученных силовых линий магнитного поля до энергий порядка триллиона электронвольт. Двигаясь по этим искривленным траекториям, электроны излучают гамма-кванты, которые в сильном магнитном поле порождают электронно-позитронные пары. Таким образом нейтронная звезда оказывается окружена магнитосферой, состоящей из электронов и позитронов».

Возрождение плазмы

В итоге в космическом пространстве не стало свободных заряженных частиц — то есть плазма, в той или иной форме существовавшая как минимум с микросекундного возраста Вселенной, исчезла! В результате рекомбинации она на многие миллионы лет уступила место нейтральному водородно-гелиевому газу, соседствующему (и взаимодействующему посредством гравитации!) со столь же нейтральными частицами темной материи. Когда Вселенная состарилась до 100 миллионов лет, а температура фонового излучения опустилась до 80 К, темная материя начала стягиваться за счет собственного тяготения во все более и более плотные сгустки. Еще через 100 миллионов лет эти сгустки смогли втягивать в себя частицы космического газа, из которых сформировались коллапсирующие облака, положившие начало первым звездам. Уже предшественники первого поколения таких светил, так называемые протозвезды, возродили плазменное состояние материи, которое с тех пор и доминирует в космосе.

Статья «» опубликована в журнале «Популярная механика» (№5, Май 2010)

 Большая часть материи во Вселенной находится в «четвертом состоянии вещества». Но так было не всегда. Алексей Левин 25 сентября 2017 17:30 1092 Основное прибежище плазмы на нашей планете — ионосфера. За ее пределами плазма порождается в ходе некоторых природных процессов (например, грозовых разрядов), а также во время работы научных и бытовых приборов и технологических установок (например, дуговых сварочных аппаратов). Ионы имеются даже в пламени обычной спички, но их концентрация составляет ничтожные доли процента, поэтому о настоящей плазме тут не может быть и речи. Зато во Вселенной плазменное состояние обычной (не темной) материи отнюдь не редкость, а самая что ни на есть норма. Космос — это настоящий океан плазмы, она буквально везде — от звездных недр и окрестностей до практически пустого межзвездного пространства. Новорожденная Вселенная В последние годы астрофизики и космологи пришли к единой точке зрения относительно того, что происходило в нашей Вселенной, когда ее возраст перешел за одну микросекунду (более ранние события все еще служат предметом дискуссий). В это время случилась так называемая Великая Аннигиляция тогда еще свободных кварковых частиц, которая уничтожила все антикварки, однако пощадила возникший до этого мизерный избыток кварков. К тому времени, когда возраст мироздания достиг 10 микросекунд, кварки слились в тройки (порождая барионы — протоны и нейтроны) и пары (нестабильные мезоны, в основном пионы). На каждый барион приходилось около миллиарда высокоэнергетичных фотонов, температура которых в те времена составляла порядка 4 триллионов градусов. На десятой микросекунде Вселенная заполнилась сверхгорячей плазмой чудовищной плотности (порядка 100 миллионов тонн на кубический сантиметр), состоящей в основном из высокоэнергетичных лептонов — электронов и позитронов, порождаемых из-за высокой температуры гамма-квантами. По сей причине эту фазу ранней истории Вселенной называют лептонной эрой (а предшествующую ей — кварковой). Размер наблюдаемой Вселенной тогда был меньше сотни астрономических единиц, то есть сильно уступал размерам современной Солнечной системы.

Пять космических аппаратов миссии THEMIS (Time History of Events and Macroscale Interactions during Substorms) на вытянутых околоземных орбитах изучают основные хранилища плазмы вблизи нашей плаенты — магнитосферу и ионосферу Земли, а также их взаимодействие с солнечным ветром. Эти взаимодействия вызывают появление полярных сияний и возмущения магнитосферы Земли, что приводит к появлению магнитных бурь и выражается в нарушении радиосвязи, работы электронных приборов и систем энергоснабжения. На иллюстрации: пять аппаратов выстроены в линию для регистрации состояния различных областей магнитосферы при перезамыкании магнитных линий. Лептонная эра продолжалась до тех пор, пока гамма-квантам хватало энергии для порождения электронов и позитронов. По мере расширения Вселенной температура фотонного газа постоянно снижалась и достигла 10 миллиардов градусов, когда возраст Мироздания составлял примерно одну секунду. Образование пар (во все в меньшем и меньшем количестве) продолжалось за счет «горячего хвоста» фотонного спектра, однако спустя несколько секунд, когда температура фотонов спустилась ниже 4 миллиардов градусов, оно полностью прекратилось. К моменту, когда Вселенной исполнилось 10 секунд, лептонная эра уже ушла в прошлое, оставив после себя очень горячую плазму плотностью 5 кг/см3, преимущественно состоящую из фотонов. Началась новая космическая эра, когда плотность электромагнитного излучения превышала плотность вещества. Эту эру так и называют — радиационной.

Плазма космических пустот

Хотя звездная и околозвездная плазма вносит основной вклад в энергетику Большого Космоса, в общей массе барионной материи ее доля не превышает нескольких процентов. Большая часть барионной материи (порядка 80%) приходится на заряженные частицы, рассеянные в пространстве между галактиками и их скоплениями (галактическими кластерами). И еще около 10% составляет вещество, заполняющее внутригалактическое пространство, которое тоже проявляет типичные плазменные свойства. «Межгалактическая среда по составу чрезвычайно проста. Она преимущественно состоит из одиночных протонов и электронов, но включает частицы гелия и более тяжелых элементов. Это самое разреженное вещество во Вселенной — на кубометр пространства не приходится и одной протонно-электронной пары (вблизи галактик и галактических кластеров этот показатель выше на один-два порядка). Именно поэтому межгалактическую плазму трудно наблюдать с помощью астрономических приборов. Мы знаем, что поскольку ее частицы могут быть источниками рентгеновского излучения, температура ее составляет от ста тысяч до нескольких миллионов градусов. Кое-какую информацию о межгалактической плазме удается получить при изучении спектров поглощения фотонов атомами элементов тяжелее водорода, — объясняет Эллен Цвейбел, профессор астрономии Висконсинского университета в Мэдисоне. — Протоны и электроны межгалактической плазмы, как и любые заряженные частицы, взаимодействуют с космическими магнитными полями. Такие поля точно имеются вблизи галактик, однако до сих пор не известно, существует ли единое фоновое магнитное поле, пронизывающее всю Вселенную. Оно вроде бы не могло родиться в ходе Большого Взрыва — во всяком случае, такой вывод следует из его общепринятой теоретической модели. Однако некоторые астрофизики полагают, что такое поле существует, хоть мы не понимаем механизма его возникновения и не в состоянии его померять, поскольку напряженность этого поля очень мала, меньше триллионной доли тесла. Возможно, что эту задачу со временем удастся решить, изучая поведение частиц межгалактической плазмы». Плазма внутри галактик гораздо плотнее — в среднем, миллион частиц на кубометр. Она холоднее межгалактической плазмы и богаче тяжелыми элементами. В ее состав также входят микропылинки, практически отсутствующие в межгалактической среде. Еще одно важное отличие заключается в том, что межзвездная газовая среда преимущественно состоит из нейтральных атомов и молекул, концентрация которых может быть в сотни и даже тысячи раз выше концентрации заряженных частиц. Тем не менее, такая среда хорошо проводит электричество и посему является вполне доброкачественной плазмой. Гравитационные поля могут стягивать частицы межзвездного газа в газо-пылевые облака, из которых рождаются звезды и планетные системы

Начало нуклеосинтеза

В истории Мироздания очень важна трехминутная отметка. На этой стадии впервые появилась возможность формирования составных ядер — конкретно, ядер дейтерия (протон плюс нейтрон). Энергия связи такого ядра равна 2,2 МэВ, что соответствует температуре в 25 миллиардов градусов. Температура упала до этой величины, когда Вселенной было всего четверть секунды. Можно подумать, что дейтерий начал образовываться уже тогда, но такой вывод будет ошибочным. Электромагнитное излучение Вселенной еще долго содержало достаточно горячих фотонов, которые разбивали новорожденные ядра дейтерия. Дейтерий смог «выжить», лишь когда доля фотонов с энергией более 2,2 МэВ сократилась до одной миллиардной (общее число фотонов в полтора миллиарда раз превышало число подлежащих объединению барионов!). Это произошло, когда возраст Вселенной достиг одной минуты, а еще через две минуты процесс синтеза дейтерия пошел в полную силу. Новорожденные ядра этого изотопа принялись присоединять по одному протону и одному нейтрону (в любом порядке) — так появились альфа-частицы, ядра гелия. Этот процесс занял всего несколько минут и охватил практически все нейтроны (очень небольшая их часть пошла на непереработанный в гелиевом синтезе дейтерий, гелий-3 и литий-7). Исходное соотношение числа протонов и нейтронов равнялось 7:1, и каждая новая альфа-частица оставляла после себя 12 незадействованных протонов. Так космическое пространство оказалось заполненным ядрами водорода (75% общей массы) и гелия (25%). В наше время эти показатели равны 74% и 24% - оставшиеся 2% приходятся на более тяжелые элементы, порожденные процессами звездного нуклеосинтеза

С момента Большого взрыва события развивались достаточно быстро, так что за достаточно короткое время сменилось несколько ключевых эпох. Чтобы изучить первые моменты существования Вселенной, требуется получить соответствующие этим эпохам огромные энергии. Частично смоделировать такие условия можно с помощью больших ускорителей — таких, как Большой адронный коллайдер (Large Hadron Collider, LHC).

При синтезе гелия выделяется изрядная энергия (за счет этого горят звезды и взрываются водородные бомбы). Всего за несколько минут во вселенской термоядерной печи сгорело в 100 раз больше водорода, чем потом во всех звездах нашей Вселенной. Однако при этом ничего особенного не произошло — Вселенная лишь немного нагрелась, после чего продолжала остывать в ходе дальнейшего расширения. Поскольку потепление охватило весь объем космоса, оно не породило компактных областей горячего сжатого газа в более холодной и разреженной среде, которые возникают при детонации любого заряда (хоть химического, хоть атомного). Таким образом, гигантское выделение энергии в ходе первичного нуклеосинтеза практически не сказалось на эволюции Вселенной (к слову, это же можно сказать и о двух еще более сильных прогревах Космоса во время аннигиляции кварков и антикварков, а затем электронов и позитронов)

https://www.popmech.ru/.../10266-v-okeane-plazmy-chetvertoe-sostoyanie-veshchest...

 Как примирить два противоречивых столпа современной физики: квантовую теорию и гравитацию? Долгое время ученые считали, что рано или поздно наука признает ту или иную теорию господствующей, однако реальность как всегда оказалась намного интереснее. Новые исследования утверждают, что гравитация может возникать из-за случайных флуктуаций на квантовом уровне. Василий Макаров 21 сентября 2017 15:25 806 Среди двух фундаментальных теорий, объясняющих окружающую нас реальность, квантовая теория апеллирует к взаимодействию между наименьшими частицами материи, а общая теория относительности обращается к гравитации и крупнейшим структурам во всей Вселенной. Со времен Эйнштейна физики пытались преодолеть разрыв между этими учениями, но с переменным успехом. Один из способов согласования гравитации с квантовой механикой заключался в том, чтобы показать, что в основе гравитации лежат неделимые частицы материи, кванты. Этот принцип можно сравнить с тем, как сами кванты света, фотоны, представляют собой электромагнитную волну. До сих пор у ученых не было достаточно данных, чтобы подтвердить это предположение, но Антуан Тиллой (Antoine Tilloy) из Института квантовой оптики им. Макса Планка в Гархинге, Германия, попытался описать гравитацию принципами квантовой механики. Но как ему это удалось? Квантовый мир В квантовой теории состояние частицы описывается ее волновой функцией. Она, к примеру, позволяет рассчитать вероятность нахождения частицы в той или иной точке пространства. Перед самим измерением неясно не только то, где находится частица, но и то, существует ли она. Сам факт измерения буквально создает реальность, «разрушая» волновую функцию. Но квантовая механика редко обращается к измерениям — потому-то она и является одной из самых спорных областей физики. Вспомните парадокс Шредингера: вы не сможете разрешить его, пока не произведете измерение, открыв коробку и выяснив, жив кот или нет. Одним из решений подобных парадоксов является так называемая модель GRW, которая была разработана в конце 1980-х годов. Эта теория включает в себя такое явление, как «вспышки» — спонтанные коллапсы волновой функции квантовых систем. Результат ее применения точно такой же, как если бы измерения были проведены без наблюдателей как таковых. Тиллой модифицировал ее, чтобы показать, как с ее помощью можно выйти на теорию гравитации. В его варианте вспышка, разрушающая волновую функцию и заставляющую частицу тем самым находиться в одном месте, также создает гравитационное поле в этот момент в пространстве-времени. Чем больше квантовая система — тем больше в ней частиц и тем чаще случаются вспышки, создавая тем самым флуктуирующее гравитационное поле. Самое интересное, что среднее значение этих флуктуаций и является тем самым гравитационным полем, которое описывает теория гравитации Ньютона. Такой подход к объединению гравитации с квантовой механикой называется квазиклассическим: гравитация возникает из квантовых процессов, но остается классической силой. «Нет никакой реальной причины игнорировать квазиклассический подход, при котором гравитация является классической на фундаментальном уровне», говорит Тиллой. Феномен гравитации Клаус Хорнбергер из Университета Дуйсбург-Эссен в Германии, не принимавший участия в разработке теории, относится к ней с большой симпатией. Однако ученый указывает на то, что до того, как эта концепция ляжет в основу единой теории, объединяющей и объясняющей природу всех фундаментальных аспектов окружающего нас мира, необходимо будет решить еще целый ряд задач. К примеру, модель Тиллоя точно может быть использована для получения ньютоновской силы тяжести, а вот ее соответствие гравитационной теории еще нужно проверить с помощью математики. Впрочем, ученый и сам согласен с тем, что его теория нуждается в доказательной базе. К примеру, он предсказывает, что гравитация будет вести себя по‑разному в зависимости от масштабов рассматриваемых объектов: для атомов и для сверхмассивных черных дыр правила могут сильно отличаться. Как бы то ни было, если тесты обнаружат, что модель Тиллроя и в самом деле отражает реальность, а гравитация и в самом деле является следствием квантовых флуктуаций, то это позволит физикам осмыслить окружающую нас действительность на качественно ином уровне.

   Теперь это доказано как теоретически, так и математически. Уже не стоит вопрос о том, существует ли энергия нулевой точки. Он звучит по-другому: “Можем ли мы использовать этот неистощимый источник бесплатной энергии и применять одновременно недорогие и экологичные технологии?” Если мы будем и дальше сжигать полезные ископаемые и полагаться на атомную энергию, то будущее нашей цивилизации имеет мрачные перспективы. Мы находимся в критическом положении, потому что объем промышленного загрязнения и количество радиоактивных отходов уже превысили возможности самоочищения Земли. Мировые запасы нефти и газа будут истощены к 2025 году при сохранении нынешних темпов потребления. Но крупные корпорации и мировые правительства отказываются признавать надвигающийся кризис и сопротивляются техническому прогрессу, стараясь сохранить устаревшую политическую систему. В научной среде появляются ученые-пионеры, физики-теоретики, а также изобретатели-энтузиасты, которые пытаются изменить наш взгляд на обуздание невидимых сил природы. Несмотря на насмешки, недостаток средств и активные попытки избавиться от этих людей и их работ, они вступили в борьбу с общепринятыми устаревшими догмами, пытаясь в жестокой схватке с глобальными корпорациями совершить революцию в науке. В этой передаче вы увидите разработки неутомимых изобретателей и дальновидных ученых, у которых, вероятно, и находится ключ к настоящей энергетической независимости всех людей на Земле: начиная от Николы Теслы и заканчивая

Киматика - Этот фильм о волновой структуре пространства. Он включает некоторые исторические и археологические факты, доказывающие структурированность пространства, а так же математическую модель, позволяющую понять волновую структуру пространства и строения вселенной.

    ЦВЕТОК ЖИЗНИ