Звуки всех устойчивых обертонов, гармоник свободно звучащей струны — в прямом и переносном смысле — гармонично сочетаются. Гармоники струны образуют самые совершенные консонансы, самые благозвучно сочетающиеся пары звуков, музыкальные интервалы. Вторая и первая гармоника (колебания целой струны и ее половины) относятся друг к другу по частоте как 2/1, что соответствует музыкальному интервалу «октава». Эти звуки настолько хорошо сочетаются друг с другом, что в европейской практике им дали даже одинаковые названия, например «До первой октавы» — «До второй октавы». Но мы помним: это разные звуки с разной частотой. Следующим консонансным интервалом будет тот, что образуется между третьей и второй гармониками, которые имеют отношение частот 3/2. Это квинта, основа основ музыки — в современном европейском звукоряде это интервал, скажем, между «до» и «соль». Следующий интервал — кварта, сочетание четвертой и третьей гармоник, отношение частот 4/3. Это соответствует примерно интервалу «до-фа». И т. д.

Древнейшие звукоряды появились в незапамятные времена в Индии. Несмотря на различия, все они включают в себя и опираются на абсолютно чистые интервалы — квинты и кварты с соотношением частот 3/2 и 4/3 (см. таблицу далее). На фото — современные «микротоновые инструменты».

Звукоряд, который построен только на интервалах, основанных на отношениях частот гармоник, называется «натуральным», и в чистом виде он не используется в наше время нигде. В древние времена не было учения о гармонических колебаниях. Но интуитивно, эмпирически в античные времена и Средние века музыкальные математики для создания строев использовали младшие, а потом и старшие гармоники струны.

22 ноты и бамбуковые флейты

Вероятно, самым древним из известных нам сейчас звукорядов является индийский. Время его создания теряется где-то в тысячелетиях до нашей эры. Первые упоминания о традиционных индийских музыкальных инструментах «вина» встречаются еще в «Рамаяне» и «Махабхарате». Индийцы на основе первых семи нечетных гармоник свободно звучащей струны получили основу своего звукоряда, строй нот Свара. Каким бы экзотичным нам ни представлялось сейчас звучание индийской музыки, она абсолютно идеально сконструирована с точки зрения математики и акустики. Правда, эти рассуждения относятся лишь к самому древнему из дошедших до нас способов настройки индийских инструментов, гандхара-грама (реконструкция В.Е. Еремеева). Существуют и другие способы, например шадджа- и мадхьяма-грама. Но и эти настройки включают в себя и опираются на абсолютно чистые интервалы — квинты и кварты с соотношением частот 3/2 и 4/3

Ступени гамм гандхара-, шадджа- и мадхьяма-грама

Вообще в индийской гамме 22 ноты — 7 нот Свара и 15 дополнительных нот Шрути (не 12 и не 7!). Это удивительное звучание! Тонкое, с потрясающей мелодикой исполнение традиционных индийских раг основано на идеальном с точки зрения математики и психоакустики звукоряде. Послушайте, пожалуйста, эту музыку «вживую», вы получите несравненное удовольствие!

В основе принципов создания китайского звукоряда Люй-Люй (как, впрочем, и древнеиндийского) лежат космологические теории. Принципы построения китайского звукоряда основываются на взаимодействии Ян и Инь, мужского и женского начала, Неба и Земли.

Согласно преданию, император Хуан-ди (III тысячелетие до н.э.) приказал своему музыкальному министру Лин Луню изготовить бамбуковые флейты (люй). Когда тот взялся за дело, то перед ним вдруг появились две божественные птицы — фениксы, самка и самец, которые спели по шесть нот — шесть «иньских» и шесть «янских», взаимодействовавших определенным образом. Постигнув устройство звукоряда, Лин Лунь изготовил 12 бамбуковых флейт, которые и составили основу музыкальной системы.

Китайцы выяснили, что с помощью интервалов «квинта» и «октава», соотношений 2/1 и 3/2, можно настроить любой инструмент (12-нотный музыкальный строй назвали Люй-Люй). Современные настройщики данный способ настройки называют «октаво-квинтовым кругом» (откладываем квинты вверх, а затем понижаем найденные ноты октавами, чтобы не было большого разброса звукоряда по высоте).

И вот именно здесь у нас впервые появилось число 12: количество нот в одной октаве. Какой в этом физический смысл? Да никакого! Просто 12 квинт примерно равно семи октавам, и это соотношение оказалось зафиксированным в истории.

Для традиционной китайской музыки особое значение имеет пентатоника, пять нот. Это многим кажется странным: зачем брать всего пять нот, когда есть двенадцать? Тут, во‑первых, необходимо помнить о мистической роли числа 5 в древнекитайской философии. Ну а во-вторых, строй Люй-Люй получился нетемперированным, то есть соседние ноты не имеют меж собой равных частотных интервалов (как на рояле или современной гитаре).

Это особенность всех систем, основанных на чистых, натуральных интервалах, которые построены на гармониках струны. Имея 12 нот Люй-Люй, от каждой из которых может быть отложена любая ступень пентатоники, мы получаем 60 (12х5) ладотональностей с различными окрасками и множеством звуковых нюансов. Это очень, очень богатая основа для создания музыки. Гораздо шире, чем применяется сейчас.

Удивительным представляется тот факт, что китайский звукоряд Люй-Люй совпадает с точностью до мелочей со звукорядом Пифагора, основателя европейской математической и музыкально-философской школы, который жил в VI веке до н.э. Пифагор был первым человеком в Европе, кто провел настоящие научные эксперименты со струнами, выявляя математико-акустические закономерности с помощью специального приспособления — монохорда.

В результате этих экспериментов Пифагор выделил идеально гармоничную, с его точки зрения, четверку чисел: 12, 9, 8 и 6. Здесь 9 и 8 — это, соответственно, среднее арифметическое и среднее гармоническое между числами 12 и 6 (интервальный коэффициент октавы 2/1). Числа 9 и 8 соответствуют абсолютно консонансным интервалам квинта и кварта.

От чистоты к уравниловке

Долгое время, вплоть до Средних веков, европейцев вполне удовлетворял пифагорейский музыкальный строй. Однако, когда развитие музыки привело к созданию таких инструментов, как орган, клавикорд и др., возникли проблемы с их настройкой. Как уже говорилось, что индийский, что китайский Люй-Люй, что пифагорейский — строи нетемперированные. То есть расстояние между двумя соседними нотами разное. Казалось бы — ну и что?

А то, что почему-то именно в Европе сильно проявилось желание не просто петь и играть на музыкальных инструментах одноголосные мелодии, но брать сложные аккорды: трезвучия, септаккорды и проч. Почти все такие аккорды во всех нетемперированных строях звучат неблагозвучно.

Но первое слово опять за китайцами. Изобретателем современного равномерно темперированного 12-нотного строя считают музыканта и математика, принца династии Мин Чжу Цзай Юя (р. 1536). В XVI—XVII вв./bm9icg===>еках темперированный строй исследуют в Европе. В 1722 году публикуется эпохальная работа И.С. Баха «Хорошо темперированный клавир». «Хорошая темперация» не была еще равномерной темперацией в современном понимании, но уже позволяла более-менее успешно играть в любой из тональностей.

Высота n-ной ноты в современном 12-нотном равномерно темперированном строе вычисляется по формуле: Fn = F0•12?2n. Таким образом, во‑первых, расстояние между каждыми двумя соседними нотами одинаково, а во-вторых, для любой ноты, кроме двенадцатой (октава), интервальный коэффициент (отношение частот) — иррациональное число и не может быть выражен в виде отношения целых чисел. Значит, нет и «чистых» интервалов.

Теперь нестыковки между ними как бы размазаны по звукоряду. Темперированные квинта и кварта еще более-менее похожи на «чистые» 3/2 и 4/3, но вот терции и сексты в таком строе звучат с явно слышимыми биениями. Детский слух эти биения хорошо слышит, взрослый, «развитый», уже часто нет. Если же мы хотим, чтобы и терции, и сексты звучали «чисто», нам нужно сделать другую разбивку октавы. Почти идеальным для полифонии считается 53-нотный равномерно темперированный строй. Но сделать рояль или орган с такой настройкой технически трудно, а играть на нем будет тяжеловато.