REMEUR:    Что привело меня к этой работе?Вот это сообщение из дневника Таня Т

Суббота, 18 Октября 2008 г. 10:26 + в цитатник 

Похожи очень.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

В настоящее время исследования новых возможностей развития формоо­бразования в дизайне всё чаще становятся междисциплинарными, объединяю­щими науку, технику и искусство, что является следствием поисков первичных принципов формообразования, позволяющих абстрагироваться от конкретных стилистических приёмов и методов и выйти на сущностный уровень предметно-пространственного творчества. Значительная часть авторских концепций формо­образования, создававшихся с момента зарождения дизайна в начале XX в., осно­вывалась на геометрических принципах. Отдельные математические понятия, такие как точка, линия, плоскость, объём, простейшие геометрические фигуры и их сочетания были преобразованы в первичные принципы формообразования в творчестве многих выдающихся российских (В. Кандинского, К. Малевича, В. Татлина, А. Родченко, К. Медунецкого, В. и Г. Стенбергов, К. Иогансона и др.) и зарубежных (И. Иттена, Й. Альберса, Л. Мохой-Надя, Ле Корбюзье, Б. Фуллера, К. Снельсона, Д. Эммериха, Ф. Отто и др.) дизайнеров и архитекторов, предо­пределившем ход развития авангардного дизайнерского и архитектурного поиска XX в.

Органичное объединение математики, искусства и дизайна наиболее успешно осуществлялось в тех областях каждой из этих сфер деятельности, где возможна визуализация и образное представление одновременно с математической форма­лизацией и логической структурой. Такими смежными областями математики и искусства уже давно стали орнаменты, симметрия, теория пропорций, различные системы перспективы, геометрия многогранников, а в конце XX в. — также то­пология, фрактальная геометрия, компьютерная графика. При этом дополнитель­ные критерии осуществимости, устанавливаемые практическим дизайном, резко снижают количество потенциально возможных заимствований принципов формо­образования из области визуальной математики.

Важным источником поиска первичных принципов формообразования в ди­зайне является изучение истории художественного конструирования отдельных видов изделий с древнейших времён и до наших дней. Как правило, в основе тра­диционных приёмов формообразования также лежат геометрические принципы, которые древние мастера открывали для себя из осознанно или неосознанно по­ставленных экспериментов.Многие столетия, а иногда и тысячелетия, прошед­шие со времени зарождения традиционных принципов формообразования, спо­собствовали отбору наиболее эффективных и экономичных способов их практи­ческой реализации.

3

Поиск новых первичных принципов формообразования в дизайне и способов их применения в реальной предметно-пространственной и проектной деятельно­сти возможен как внутри самой сферы дизайна, его истории и смежных с ним областях искусства, так и непосредственно в математике и естественных науках. Обнаруженные в результате инвариантные закономерности, пройдя через экс­периментальную проверку триадой «материал-технология-конструкция», могут стать основой зарождения новых систем формообразования в дизайне.

Одним из фундаментальных принципов формообразования являются узлы, известные человечеству с момента зарождения самой материальной культуры, и за многие тысячелетия ставшие не только удобными и совершенными орудиями и техническими приспособлениями, но также предметом и составной частью тра­диционных декоративно-прикладных искусств. Узлы занимали особое место в духовной культуре многих народов, выполняя символическую и модельную роль в традиционных метафизических представлениях.

Возникшая в конце XIX — начале XX в. математическая теория узлов, уже во второй половине XX в. нашла разнообразные практические приложения в естественных науках: химии, биологии, физике, где узлы рассматриваются как форма самоорганизации в живой и неживой природе. Появились также предложе­ния по использованию принципа узла в различных областях техники. Тема узлов стала проникать и в современное искусство: скульптуру, компьютерную графику, дизайн декоративных изделий.

В русле этих новейших тенденций поиска практических приложений теории узлов лежат исследования автора, посвящённые возможностям формообразова­ния узлов в качестве кинематических структур изменяемых точечных поверхно­стей. Результаты проведённых экспериментальных и теоретических исследова­ний позволяют говорить о появлении нового приложения теории узлов в сфере художественного формообразования, что может способствовать расширению эстетической выразительности дизайна и смежных с ним областей искусства.

^ Цель исследования — расширение возможностей художественной вырази­тельности дизайна за счёт применения новых средств формообразования на осно­ве геометрических структур узлов.

^ Задачи исследования:

- исследовать эволюцию практики использования узлов в материальной и ду­
ховной культуре человечества;

- ввести в научный обиход явление кинематического формообразования
узлов;

- выявить основные структурные закономерности узлов и зацеплений, ока­
зывающие влияние на проявление ими свойств кинематического формообразова­
ния;

4

изучить основные принципы кинематического формообразования узлов;

исследовать формообразование поверхностей, получаемых трансформаци­ей узлов из плоскости;

сравнить особенности формообразования кинематических структур узлов с известными методами формообразования на основе кинематических сетей;

- показать перспективы применения кинематических формообразующих
структур узлов в различных направлениях современного дизайна с учётом их ху­
дожественно-выразительных возможностей.


^ Научная новизна. Проведено комплексное исследование эволюции узла как первичного принципа формообразования в материальной и духовной культуре че­ловечества, предшествующей его применению в области дизайна. Обосновано но­вое применение узлов и зацеплений в качестве кинематических формообразующих структур. Выявлены основные принципы и закономерности формообразования узлов. Осуществлена систематизация инвариантов трансформации плоскостных форм в пространственные и соответствующих им формообразующих структур, среди которых выделены ранее неизвестные структуры изменяемой точечной по­верхности, реализуемые формообразующими структурами узлов. Проведён срав­нительный анализ формообразования кинематических узлов и кинематических тканевых сетей. Наглядно продемонстрированы возможности узлов как формоо­бразующих структур для расширения образно-выразительного языка дизайна.

^ Гипотеза исследования заключается в том, что узлы, помимо своих ути­литарных, декоративных и модельных функций, являются одним из первичных принципов кинетического формообразования, который может быть применён в различных областях современного дизайна.

^ Границы исследования определены кратким обзором применения узлов в материальной и духовной культуре человечества, анализом художественно-ком­позиционных возможностей нового применения узлов в качестве формообразую­щих структур, математическом и физическом моделированием кинематического

5

формообразования узлов и исследованием возможностей их применимости в со­временном дизайне.

^ Практическая значимость работы заключается в построении действующих моделей структур изменяемой точечной поверхности, основанных на принци­пе узлов, в разработке унифицированного способа их построения, в выделении основных областей их возможного применения в практике современного дизайна и раскрытии их художественно-композиционных возможностей.

^ На защиту выносятся следующие результаты исследования:

новое применение узлов и зацеплений в качестве кинематических формоо­бразующих структур;

основные принципы и закономерности кинематического формообразования узлов;

формообразование структур изменяемой точечной поверхности, реализуе­мых узлами и зацеплениями, в качестве нового типа объёмного формообразова­ния из плоскости;

возможности узлов и зацеплений как кинематических структур изменяемых точечных поверхностей для расширения художественно-образного языка и фор­мообразующих возможностей современного дизайна.



Редкие археологические находки узлов свидетельствуют о том, что в древно­сти люди пользовались теми же узлами, которые применяются и сегодня. Древние египтяне знали беседочный узел, обнаруженный на обрывках снастей корабля фараона Хеопса, и выбленочный узел, которым была завязана верёвка, скрепляв­шая ручки дверей третьего помещения гробницы фараона Тутанхамона. Прямой и шкотовый узлы знали древние инки, применявшие их в конструкциях висячих мо­стов. Цивилизация инков изобрела также узелковое письмо, называемое «кипу». Узелковое письмо было известно и во многих других культурах. Народы Северной Европы — кельты и скандинавы — за многие столетия выработали особую куль­туру, в которой важную роль играли узлы.

В древних Греции и Риме широкое распространение получил прямой или гер­кулесовый узел, изображения которого часто встречается на осколках античной керамики. Ко временам античности относятся и первые письменные сведения об узлах. Самым известным свидетельством особой роли, которую играли некоторые узлы в древней культуре, является легенда о Гордиевом узле, сохранившаяся во многих литературных памятниках. Греческий врач Гераклес (I в. н. э.) написал со­чинение о хирургических подвесках, в котором упоминает также узлы и петли.

Известный английский путешественник Дж. Смиту, в своём морском слова­ре, изданном в 1627 г. привёл описание некоторых морских узлов. Через сто лет узлам была посвящена подробная статья в «Энциклопедии» Дидро и Даламбера, а первая английская книга по морскому делу с рисунками узлов появилась в 1769 г. В XX в., помимо общих справочников по узлам (К. Эшли, Л. Скрягин), в которых приводится систематизация узлов по способам их практического применения, стали появляться и систематические описания декоративных узлов и плетений, включая искусство макраме и технику завязывания узлов в традиционных дальне­восточных культурах.

В § 1.2 «^ Декоративные узлы и плетёный орнамент» узлы рассматриваются как элементы декоративных плетений и их изображений, известных под общим названием «плетёный орнамент».

Для изготовления плетёных изделий были необходимы узлы с регулярной структурой, что способствовало возникновению интереса к симметрии узлов. Плоские плетения приводили к основным принципам построения геометрических орнаментов, выделялись узлы, обладающие периодической структурой, комбина­торные сочетания которых могли регулярным образом заполнять плоскость.

Плетёные орнаменты и узлы обычно изготовлялись из материалов раститель­ного и животного происхождения и были недолговечны. Возможно, что это ста­ло стимулом для поиска других форм их художественного представления, таких как графические изображения, резьба, чеканка, литье, и т. п., что привело к воз-

8

никновению плетёного орнамента, известного практически во всех человеческих культурах уже с глубокой древности. Среди разнообразных форм плетёного орна­мента широкое распространение получили структуры, выполненные из непрерыв­ной линии, начало и конец которой соединены между собой. К ним относятся, в частности, многие кельтские узлы, тамильские орнаменты, рисунки африканского народа Чокве и др.

Плетёным орнаментом из непрерывных линий, образующих структуры узлов, занимались и всемирно известные художники эпохи Возрождения: Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. В росписи Геральдической залы дворца Сфорца в Милане Леонардо изобразил ветви деревьев, переплетенные декоративным шну­ром, образующим сложные узлы и петли. Единственным орнаментальным мо­тивом портрета Джоконды является расположенный на краю выреза её платья узор из переходящих друг в друга четырёхлепестковых узлов, последовательно завязанных друг за другом на непрерывном шнуре. Леонардо создал также рису­нок центрической орнаментальной композиции из непрерывного переплетенного шнура, образующего множество переходящих друг в друга узлов, вдохновивший Дюрера на создание серии аналогичных гравюр на дереве, которые он сам назы­вал «Узлы».

Исследователи плетёного орнамента выделяют всего четыре основных узла, а остальные рассматривает как их производные, которые получаются за счет услож­нения этих четырёх. К этим узлам относятся прямой или геркулесов узел, «веч­ный» узел, узел «древо жизни», а также «плоский» или «турецкий» узел.

Первые попытки дать узлам математическое описание также были связаны с плетёными орнаментами. В статье А. Т. Вандермонда 1771 г., считающейся пер­вой публикацией по теории узлов, приводится рисунок системы зацепленных петель, напоминающих плетёную ткань. Другой основоположник теории узлов, К. Гаусс, также проявлял интерес к закономерным структурам плетёных орнамен­тов, модулями которых являются симметричные узлы и зацепления.

В § 1.3 «^ Символика узлов и её отражение в традиционном мировоззрении» исследуются свидетельства того, что узлы занимали особое место в традицион­ной духовной культуре многих народов, выполняя роль символических и модель­ных объектов, применявшихся для описания космологических и метафизических представлений, ставших прообразами современных математических моделей.

В 1924 г. П. Флоренский в своих исследованиях по теории искусства, про­читанных им на полиграфическом факультете ВХУТЕМАСа, ставил под со­мнение и исключительно технологическую природу происхождения орнамента. Флоренский трактовал изобразительность орнамента как символическое отобра­жение метафизических явлений и процессов, как особый язык символистической философии, на котором только и могут быть переданы сокровенные принципы строения мироздания.

9

Народы самых разных культур использовали символический язык узлов. Например, сплетенные узлами стебли тростника и полоски коры, символизиро­вали заключение мира между двумя племенами Новой Каледонии. Эскимосы рассказывают свои сказания, делая узлы на нескольких параллельных веревках, изображающих сцены охоты и различных животных. Подобный же приём рас­сказывания древних мифов с помощью веревочных фигур применяют и жители острова Пасхи. Островитяне Тихого океана используют своеобразный вид узелко­вого письма, изготавливая сплетенные из пальмовых листьев и волокон пандануса карты океанских течений и господствующих ветров, вплетая в них раковины кау­ри, изображающие острова и рифы.

В Прибалтике узелковое письмо из разноцветных нитей и узелков пред­ставляло собой средство выражения особых чувств и пожеланий при их дарении — почтения, уважения, любви. Японские ритуальные узлы мицухики составля­ют часть традиционного японского этикета в преподношении подарков. Они из­готавливаются из спрессованных бумажных шнуров, имеют чёткую последова­тельность процесса завязывания, составляющего сам ритуал, и содержат в себе символическое значение.

Верёвка с двенадцатью завязанными на ней через равные промежутки узлами использовалась древними строителями как инструмент для разметки на местности прямых углов, натягивая которую, они образовывали Египетский или Священный треугольник со сторонами, относящимися друг к другу как 3, 4 и 5. Верёвка с последовательно завязанными на ней узлами-восьмёрками постепенно приобрела символическое значение как один из атрибутов строительного искусства и часто изображалась в качестве символа так называемой «цепи единства», окружающей помещение масонских лож в их верхней части. Согласно Р. Генону, традиционно всякое здание строилось согласно космической модели, и ложа как образ Космоса должна была иметь обрамление в виде шнура с двенадцатью узлами, также как и сам Космос ограничен кругом из двенадцати созвездий Зодиака.

Традиционное мировоззрение видит в замкнутой непрерывной нити не толь­ко средство ограничения и упорядочивания разнообразных элементов, составля­ющих Космос, но и связь всех элементов между собой, в чём и проявляется её функция «цепи единства». Генон, исследуя символику плетёных орнаментов, в которых фигуры изображаются непрерывной линией, в частности работ Леонардо и Дюрера, отмечал, что непрерывный характер линии сближает их по своей форме с лабиринтами.

Орнамент-лабиринт из непрерывной нити или его стилизованное изобра­жение в виде геометрических фигур, параллельно со своим символическим зна­чением сакрального обрамления, несущего космогонический смысл, имел и ряд вспомогательных производных функций, таких как защитные, охранительные и магические. Постепенное вырождение понимания всей глубины изначальной

10

Традиции сводило и смысл орнамента только к этим вторичным функциям, выво­дя на первое место магическое значение.

Магические и колдовские свойства с глубокой древности приписывались узлам и кольцам самыми различными народами, когда свойства узлов, понимае­мые как нечто связывающее, стягивающее и запутывающее, то есть налагающее узы на объект магического воздействия, переносились на внешние предметы и людей физически с магическими узлами не соприкасающимися, но находящими­ся с ними в симпатической связи.

В § 1.4 «^ Зарождение и развитие теории узлов» рассматриваются основные этапы процесса становления научного представления об узлах.

Изучение узлов и зацеплений стало одним из разделов топологии, который тесно связан с алгеброй, геометрией, теорией групп, теорией матриц, теорией чисел и другими областями математики. С точки зрения топологии, узел — это одномерная кривая, расположенная в обычном трехмерном пространстве так, что она начинается и заканчивается в одной и той же точке и не пересекает саму себя. Два и более узла могут образовывать зацепления — связные структуры, которые невозможно разделить без разрывов составляющих их узлов.

Возникновение математической теории узлов положила начало статья А. Т. Вандермонда «Заметки по вопросам расположений» (1771), интерес к узлам проявлял и К. Ф. Гаусс. Ученик Гаусса И. Б. Листинг в своей монографии «Предварительные исследования по топологии» (1847) впервые сформулировал постановку задачи о расположении в пространстве замкнутой кривой линии, то есть проблему узлов.

Возникновение современной теории узлов связано с именами Г. Гельмгольца, У. Томсона (лорд Кельвин), Дж. К. Максвелла и П. Тейта. Концепция вихревых атомов, которую в середине XIX в. выдвинул У. Томпсон, предполагала идентич­ность узлов и атомов различной формы, образованных замкнутыми и заузленны-ми вихрями эфира. Тейт в сотрудничестве с Т. Киркманом и Ч. Литтлом уже к 1900 г. классифицировал простые узлы до десяти скрещений, а первый полный перечень всех простых узлов с девятью и менее скрещениями, был опубликован в 1932 г. немецким математиком К. Рейдемейстером. Перечень диаграмм простых узлов до восьми скрещений приведен на рисунке 1. Каждая диаграмма снабжена индексом, состоящим из двух чисел: первое число обозначает количество скре­щений данного узла, а второе — его порядковый номер среди узлов, содержащих одинаковое количество скрещений.

Современный математический аппарат позволяет записывать любой узел в виде его полинома и проводить поиск и классификацию неразложимых узлов и зацеплений с помощью компьютеров, однако для выявления эстетических свойств узлов их графическое изображение и моделирование приобретают важное значе­ние.

11

В § 1.5 «^ Узлы в современном искусстве и дизайне» рассматривается проник­новение темы узлов в современное искусство и её авторское прочтение художни­ками и дизайнерами.

Рост научного интереса к узлам как объектам абстрактно-математической природы в конце XIX — начале XX в. породил и эстетический интерес к ним. По-видимому, первым современным художником, обратившимся к теме узлов, был А Флокон, выпускник Баухауза, чьи работы оказали большое влияние на творче­ство М. Эшера. Флокон писал об узлах, рисовал их и делал их бумажные модели узлов. М. Эшер также строил модели узлов, ставшие прообразами узлов на его гравюрах. Флокон и Эшер изображают узлы с соединёнными концами — то есть как топологические узлы, несущими в себе современную эстетику искривлённой, подвергнутой воздействию внешних сил пространственной формы. Художники предлагают зрителю любоваться сложной и непривычной формой, по-разному от­крывающейся с различных ракурсов.

Б. Фуллер в своём труде «Синергетика» (1982), посвятил несколько страниц формообразующему принципу узла. Фуллер отделяет узел как формообразующий принцип от его материальных проявлений, таких как физические свойства верёв­ки, её цвет, текстура, рассматривая свободно перемещающийся вдоль верёвки узел как структурный принцип интеллектуального порядка. Минимальный узел три­листник, образованный из двух окружностей, Фуллер трактует как элементарный пространственный модуль, соотнося его с основным модулем синергетических структур — тетраэдром. Тем самым Фуллер включил узлы в свою концепцию си-нергетического формообразования, подразумевая в них потенциальные формоо­бразующие возможности аналогичные его сжато-растянутым стержне-вантовым структурам.

Современные художники, скульпторы и дизайнеры (Дж. Робинсон, Г. Джонс Н. Фридман, С. Яблан) обращаются к узлам как к эффективному средству выра­зительности, формы которых порождают образность и экспрессию восприятия замкнутой линии в пространстве.

В Главе 2 «Узлы в качестве формообразующих структур» рассматривается новое применение узлов и зацеплений в качестве кинематических формообразую­щих структур и основные принципы и закономерности их формообразования.

В § 2.1 «^ Узлы как волновые кинематические формообразующие структуры» рассматривается сущность нового применение узлов в качестве формообразую­щих структур. Завязывание узлов как принцип формообразования встречается уже в живой природе, где оно выполняет функции пространственной самоорга­низации молекул, в частности ДНК, отдельных микробов и некоторых многокле­точных организмов.

Утилитарные затягиваемые узлы действуют как волновые процессы, на этом

12

принципе основаны разнообразные бегущие и скользящие узлы, перемещающи­еся как единое целое по верёвке, не меняя своей формы. За счёт трения верёвки в точках её скрещений перераспределение верёвки внутри узла становится не­равномерным, в результате чего узел уменьшается в размерах и в конце концов затягивается.

Узел может быть завязан также и на длинномерном объекте, обладающим внутренней упругостью, например на резиновом стержне или стальной проволо­ке. В этом случае узел будет стремиться уравновесить действие сил трения, стре­мящихся уменьшить его размеры, и сил упругости, сопротивляющихся этому, что и определяет итоговую форму узла.

В узлах из упругого одномерно протяжённого материала существуют два типа волн: горизонтальные, расположенные параллельно плоскости проекции и образованные их замкнутыми витками, и вертикальные, образованные пере­плетёнными скрещениями узла. Первый тип волн сохраняет при движении свою форму подобно солитонам — объектам, сочетающим свойства волн и частиц и играющих важную роль в современных нелинейных теориях естествознания, а второй представляет собой бегущие поперечным волнам деформации на протя­жённых деформируемых телах. В затягиваемых узлах бегущие поперечные волны деформации определяют характер их затягивания, поэтому такую важность при­обретает порядок переплетения в узле, тогда как форма витков играет вторичную роль. Напротив, в декоративных узлах и плетениях главную роль играют витки и их форма, а переплетения призваны обеспечивать сохранение формы витков.

Витки-солитоны могут быть образованы на замкнутом упругом одномерно протяжённом объекте топологически эквивалентном кольцу или тривиальному узлу. Простейший узел трилистник при этом может быть образован как зацепле­ние единственного витка-солитона за свободную часть кольца.

Трилистник является торическим узлом, то есть обмоткой поверхности тора — двумерного многообразия с одной дыркой. Некоторые другие узлы могут также быть расположены на соответствующих двумерных многообразиях: кольцо, или тривиальный узел, располагается в виде обмотки на сфере, а узел восьмёрка — на кренделе с двумя дырками. Трилистник может быть представлен в виде двух зер­кальных обличий — левого и правого, топологически не преобразуемых друг в друга, каждый из которых может быть завязан на поверхности тора без контакти­рующих точек скрещений, но будучи завязанными вместе на одном и том же торе, они физически контактируют друг с другом в общих точках скрещений, образуя структуру заузленной ткани на поверхности тора, представляющей собой модель точечной поверхности тора. Аналогичным образом можно построить модель то­чечной поверхности произвольного ориентируемого двумерного многообразия, располагая на его поверхности по меньшей мере два зеркальных узла-обмотки соответствующего типа.

13
Энергии упругости в заузленном стержне, зависящая от топологической сложности узла, стремясь принять наименьшее значение, приводит к тому, что его средняя линия стремится совпасть с плоскостью, в результате чего все скре­щения узла становятся реально контактирующими, и их множество формирует точечную модель плоскости. При этом плоская модель точечной поверхности, заданная узлом или зацеплением нескольких узлов, в результате приложения к ней внешнего усилия и создания избыточной внутренней энергии упругости, мо­жет быть выведена из плоскости и преобразована в пространственное положение. Такие заузленные структуры, моделирующие точечные поверхностей и действую­щие как волновые механизмы, автор предложил называть специальным термином «NODUS структуры» (от лат. nodus, — узел).

В § 2.2. «^ Анализ свойств симметрии и модулярности циклических узлов и за­цеплений» исследуется типы узлов и зацеплений, которые потенциально могут моделировать кинематические точечные поверхности, способные совмещаться с плоскостью и образовывать пространственные поверхности-оболочки.

Любой узел или зацепление с некоторым количеством контактирующих скре­щений, моделирует фрагмент точечной поверхности, но её обратимую кинемати­ческую изменяемость происходящую вследствие трансформации, а не деформа­ции структуры, могут обеспечить только те из них, которые обладают цикличе­ской упорядоченностью. Регулярность узлов и зацеплений, придающая им формо­образующие свойства, проявляется в циклическом заполнении их образующими кольцевой области между двумя замкнутыми огибающими.

Анализ симметрии диаграмм неразложимых узлов и зацеплений из таблиц Д. Рольфсена (1976) показывает, что преобладающим видом симметрии для них является осевая симметрия порядка n, где n — любое число от 1 до ∞. Такая сим­метрия в основном характерна для орнаментов и возникает благодаря примене­нию принципа переплетения, который приводит к выпадению плоскостей симме­трии, пересекающихся по оси симметрии. Для узлов и зацеплений наибольший из возможных порядков оси симметрии может рассматриваться как инвариант. Так, например, трилистник можно представить на плоскости в виде двух топо­логически равноправных обличий диаграмм, одно из которых имеет порядок оси симметрии равный двум, а другое — трём. Диаграмма трилистника с большим значением порядка оси симметрии может быть отнесена к циклическому (пери­одическому) типу узлов моделирующим своей структурой изменяемые точечные поверхности.

В результате проведённого анализа установлено, что для циклических узлов и зацеплений принадлежность к симметричным или асимметричным структурам определяется исключительно положением их образующих относительно точечной поверхности, а не взаимным расположением задающих её точечных контактов. Следствием этого стал принятый автором дифференцированный подход к симме-

14

трии собственно узлов и зацеплений и симметрии задаваемых ими точечных си­стем, для чего циклические узлы и зацепления были представлены в виде универ­сальных диаграмм, расположенных на срединной точечной поверхности, модели­руемых плоскими кривыми и являющихся графами с вероятностным взаимным положением пересекающихся участков кривых в каждой вершине. Универсальные диаграммы содержат в себе 2n потенциально возможных узлов или зацеплений где n — количество точек скрещений или вершин данной плоской диаграммы.

В § 2.3 «^ Принципы развития циклических узлов и зацеплений в NODUS струк­туры» рассматривается задача закономерного перехода от простейших узлов и зацеплений, представленных в математических перечнях, к NODUS структурам с гораздо большим числом двойных точек, достаточным для возникновения у них точечной поверхности и проявления ими формообразующих свойств.

Эксперименты, проведенные автором, показали, что минимальное количе­ство контактирующих скрещений у циклического узла или зацепления, необхо­димое для проявления ими кинематических свойств обратимой трансформации должно быть не менее двух-трёх десятков. Помимо количественных критериев, большое значение имеет и качественные, то есть порядок распределения множе­ства контактирующих скрещений по структуре узла или зацепления.

Получение сложных узлов на основе простейших известно как «развитие узлов» и широко применяется в построении плетёных орнаментов, в частности кельтских, однако при орнаментальном развитии каждый производный узел имеет связь только с исходным узлом, а какая-либо связь между отдельными произво­дными узлами отсутствует.

Источник