Пифагор: музыка,математика и немного истории.

Пифагорейцами была составлена таблица 10 противоположностей, Аристотель приводит ее в своей «Метафизике»:

• предел — беспредельное
• нечетное — четное
• одно — многое
• правое — левое
• мужское — женское
• покой — движение
• прямое — кривое
• свет — тьма
• добро — зло
• квадрат — вытянутый прямоугольник

Мировая гармония, в которой заключается закон мироздания, есть единство во множестве и множество в единстве, противоположности не антагонистичны, а дополняют друг друга. Сравним этот подход с подходом Гегеля и/или Лао Цзы. Не правда ли, похоже?

Как можно это представить себе? Для Пифагора ответом являлось число: в нем объединяется множество, оно есть начало всякой меры. Опыты над монохордом[1] показывают, что число есть принцип и звуковой гармонии, которая тоже определяется математическими законами. Пифагор пришел к выводу, что звуковая гармония есть частный случай всеобщей гармонии, как бы ее музыкальное выражение. Астрономические наблюдения, которые он проводил, показали, что и небесные явления, и связанные с ними  все главнейшие изменения земной жизни, происходят также с математической правильностью, складываясь в точно определенные циклы, своего рода музыку. Такое мировосприятие очень близко к древнему китайскому календарю и концепции «Книги перемен», «И Цзин».

Аристотель писал:

«Пифагорейцы признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа. В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами… так что одно свойство чисел являлось им как справедливость, другое — как душа или разум, еще другое — как благоприятный случай и т. д. Далее они наводили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же — первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число».

То есть пифагорейские числа имеют не простое количественное значение: если для нас число есть определенная сумма единиц, то для пифагорейцев оно является той силой, которая суммирует данные единицы в определенное целое и сообщает ему определенные свойства.

Единица есть причина единения, два — причина раздвоения, разделения, четыре — корень и источник всего числа (1 + 2 + 3 + 4 = 10). Четные и нечетные числа принципиально различны: четные числа суть кратные двух, и потому «чет» есть начало делимости, раздвоения, разлада, «нечет» отражает противоположные свойства (сравните с китайским нечетным числом 3, «числом неба», Ян, мужским числом и четным 2, «числом земли», Инь, женским началом). Числа могут обладать и нравственными качествами: 4 и 7, скажем, как средние пропорциональные между 1 и 10, являются числами, или началами, пропорциональности, а следовательно, и гармонии, здоровья, разумности.

Пифагорейская гармония

В области музыкальной гармонии Пифагор был поистине революционером. Он провел исследования, поставил настоящие научные эксперименты, которые привели к открытию закона, согласно которому первые (то есть самые главные, самые значимые) консонансы (гармонично звучащие интервалы звуков) определяются числовыми отношениями 2/1, 3/2, 4/3. Так, половина струны звучит в октаву, 2/3 — в квинту, 3/4 — в кварту с целой струной. С точки зрения современной психоакустики такие наблюдения очевидны, самые совершенные консонансы базируются на первых гармониках. Но современная психоакустика отстоит от экспериментов Пифагора более, чем на 2,5 тысячи лет!

«Самая совершенная гармония» задается четверкой простых чисел 6, 8, 9, 12, где крайние числа образуют между собой октаву (6-12) , числа, взятые через одно (6-9 и 8-12) — две квинты, а края с соседями — две кварты (6-8 и 9-12). С точки зрения математики, эта четверка чисел действительно является базовой в каком-то смысле. В математике, а, особенно, в физике (и во всех естественнонаучных дисциплинах), среднеарифметическое (9) и среднегармоническое (8) – фундамент, на котором стоит аналитика всех точных наук. То, как красиво и точно это сформулировал Пифагор, заслуживает большого уважения. С моей точки зрения, числа 6, 8, 9 и 12 являются отражением принципиальной гармонии всех естественнонаучных и гуманитарных дисциплин, известных нам сейчас.

Но вернемся к математике музыки Пифагора.

Гармония, по мнению Пифагора, есть система трех созвучий — кварты, квинты и октавы. На базе тетрахорда (четырех струн, четырех звуков, четырех нот, четырех чисел) 6, 8, 9 и 12 можно построить и полный звукоряд, двенадцати нотный или какой-нибудь еще. Полный строй получался, если откладывать от какой-либо ноты чистую квинту вверх (или вниз). Таким образом, можно получить все ноты, примерно соответствующие нашему двенадцати нотному звукоряду. Опуская (или поднимая) ноты на октаву вниз, сводя их в одну октаву, можно получить звуковысотные соотношения для всех нот.

На картинках ниже представлена настройка и фотография так называемой «Лиры Орфея», легендарного четырехструнного инструмента древних греков.

Кроме того пифагорейцы обнаружили, что  целый тон неделим на два равных полутона, и что шесть целых тонов больше октавы на ничтожно малую величину коммы (которую позже назвали «пифагоровой»).

[1] Монохорд (др.-греч. μονόχορδον, лат. monochordum, однострунник) — инструмент, служащий для точного построения музыкальных интервалов (звуков заданной высоты) путем фиксации различных длин звучащей части возбуждаемой щипком струны. Состоит из основания, на котором между двумя порожками закреплена натянутая струна. Между ними находится подвижная подставка (прижимающая струну снизу), перемещением которой фиксируют звучащую часть струны. На основание монохорда наносится шкала делений.