Ва́тсон - традиционо устоявшееся, закрепившееся произношение, данное классическим переводом книг о Шерлоке Холмсе. Так как это произношение стало традиционным у нас, оно является правильным с литературной точки зрения (хотя и не соответствует лингвистической норме фонетики). В данном случае, традиция есть традиция - она уже устоялась.

Есть множество подобных устоявшихся традиционно примеров: вспомним хотя бы Шекспира (который по правилам фонетики должен быть Шейкспир, англ. Shakespeare) или сэра Вальтера Скотта (англ. Walter Scott, то есть, Уолтер Скотт). Эти традиционные произношения являются нормой и в современном русском языке.

Хотя с не столь давних пор стало модно произносить подобные имена и названия (уже имеющие у нас традиционно устоявшиеся варианты произношения) согласно фонетическим нормам - в данном случае - английского языка, так, как они звучат в оригинале. Сами по себе эти варианты тоже правильные, так как соответствуют (насколько это возможно в рамках нашего языка) фонетической норме. То есть, "Уотсон" - тоже правильное произношение, если быть принципиальным; именно так называют доктора на родине самого произведения. Хотя у нас все же звучит диковато, так как мы уже привыкли к традиционному произношению.

А вот относительно упомянутого Вами "Вотсона", исходя их выше сказанного, могу заключить пока лишь одно: это не традиция, это не фонетическая норма. Это просто отсебятина сценаристов сериала (помимо всего прочего).