Фаворитом нынешнего чемпионата мира по футболу считается испанская сборная. Букмекеры дополнительно «подпирают» её рейтинг, страхуясь на случай, если Испания в самом деле окажется сильнее Бразилии. При этом сами букмекеры не скрывают, что исход любого матча правильно предсказывает один человек из пяти. Чаще всего это счастливцы из одного круга — «мудрые ребята» (wise guys). И кое-кому хочется испытать, не принадлежит ли он к числу этих избранников судьбы. Или любимцев духов, как сказали бы наши предки.

Дверь в иной мир

Вообще история игр и ставок — это рассказ о законах, которые запрещают людям общаться с миром духов. Этот мир непостижим, и соприкоснуться с ним можно через непостижимое в обыденной жизни. Скажем, никто не знает, как упадет монета — орлом или решкой. А раз это нельзя постичь, значит, монета во власти духов. Древние греки так и гадали: в одной руке — монета «за богов». Во второй руке — другая монета, «за себя». Теперь задаем вопрос: «Стоит ли мне сделать то-то и то-то?» — и бросаем обе монеты. Если обе упали решкой или обе орлом — значит, боги согласны.
Наука в помощь церкви

Священники не могли спокойно смотреть, как азартные игроки нарушают их монополию на общение с богами и духами. Индийские законы Ману за метание костей и тотализатор на петушиных боях предписывали нещадно бить палками. Напоминающий нарды прототип шахмат превратился в позиционную игру. Жребий метали только дважды — кому первым ходить и кому достанутся чёрные, которые считались более счастливыми. Только с 1835 года по предложению английского журналиста Джорджа Уолкера (George Walker, 1803–1879) жребий стали метать один раз. Проигравший получает удачливые чёрные в качестве компенсации.

Но никакой системы в шахматах не было. Фигуры двигали как попало — ввяжемся в драку, а там видно будет. Элементы гадания сохранились: кто знает, какой вариант хода выберет противник? Конец неизвестности положили математики Средних веков. Они заметили, что последствия любого решения партнера поддаются расчету. Люди с математическим складом ума стали лучшими шахматистами. С ними боялись играть на деньги. Оценив пользу анализа в позиционной игре, учёные задумались об играх азартных: нельзя ли и там что-нибудь рассчитать? Оказалось, можно.

В 1647 году Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623–1662) пережил частичный паралич. Доктора предписали ему встряхнуться. И Паскаль стал вести самую разгульную жизнь: выпивать и посещать игорные дома. Там он познакомился с неким шевалье де Мере (Antoine Gombaud, chevalier de Méré, 1607–1684). Тот сообщил, что при бросании кости четыре раза подряд вероятность выпадения любой определённой грани (в том числе и шестерки, которая интересовала игроков) составляет более 50%. Делая небольшие ставки в игре с одной костью, де Мере выигрывал. Но стоило шевалье перейти к столу, где бросали две кости, система приносила одни убытки.

Паскаль задумался, можно ли рассчитать вероятность с математической точностью. Он был первым, кто осмелился бросить такой вызов судьбе. Древние верили в рок, им в голову не приходило считать вероятность. Паскаль решал эту задачу с помощью треугольника, который был известен еще Омару Хайяму на востоке и Леонардо Пизанскому (Leonardo Pisano Bogollo, detti Fibonacci, ок. 1170 – ок. 1250) на западе, но получил имя Паскаля. Это пирамида чисел, каждое из которых равно сумме двух, расположенных над ним:

С помощью этого треугольника можно легко предсказывать разные вероятности развития игры в орла и решку. Если мы бросаем монетку один раз, возможны два исхода: соотношение их вероятностей мы видим во второй сверху строке треугольника — 1:1. Если мы хотим узнать возможные результаты игры, когда монетку подбрасывают два раза, ответ надо искать в третьей строке треугольника: 1 шанс из четырех, что оба раза будет решка; 1 — что оба раза орел; и 2 шанса, или 50% — вероятность, что по очереди выпадет и то и другое.

Вот это да! Выходит, мир духов отчасти можно постичь: если монету подбрасывать достаточно долго, два раза подряд «орел» выпадает лишь в 25% случаев, как бы духи не старались. Отсюда со временем вывели теорию принятия решений, гласящую, что неблагоприятного исхода можно опасаться в меньшей степени, если вероятность его мала. А эту вероятность можно оценить по данным статистики. Это открытие — основа современной экономики, от страхования и маркетинга до биржевой игры.

Паскаль воспринял собственное открытие своеобразно. Он задумался, какие пари можно было бы выиграть, применяя расчет вероятностей. Пожалуй, самая высокая ставка может быть в споре о том, существует ли Бог. Возможны два варианта: Бог или есть, или его нет. Проверить это на опыте мы не можем. Если Бог есть, то он вознаградит нас вечным блаженством за праведную жизнь. Если его нет, то всё дозволено. Какую ставку сделать в этой игре? Грешник наслаждается лет 50, а потом горит в вечном огне. Разумнее вести себя по-христиански.

И Паскаль поступил разумно. Он перестал грешить и поселился в женском монастыре Пор-Рояль, где состояла монахиней его сестра. Но в этом монастыре он придумал игру, загубившую немало душ. Однажды у него заболели зубы. Чтобы отвлечься, Паскаль стал считать вероятность выигрыша в лото с 36 билетами. Из этой идеи родилась рулетка.

"Кто способен вовремя остановиться, тот имеет шанс остаться в выигрыше».
 

Санкт-Петербургский парадокс

Последняя фраза относится и к футбольному тотализатору. Здесь выигрывают хладнокровные люди, которые следят за статистикой и делают ставки по открытому в 1956 году критерию Келли.

Этот критерий можно было открыть и на 200 лет раньше. В 1738 году журнал Санкт-Петербургской академии наук «Commentarii academiae scientiarum imperialis» опубликовал статью академика Даниила Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782) «Изложение новой теории об измерении риска» (Specimen theoriae novae de mensura sortis). Автор восемь лет провёл в России. Ко времени публикации статьи он уже давно переехал в Базель. Как только его статью перевели в 1954 году на английский язык, она попала в поле зрения американских математиков, применивших идеи академика в тотализаторе и биржевой игре.

Бернулли провозгласил, что для принятия решения мало знания вероятностей исходов. Важно ваше отношение к потере того, чем вы рискуете. Вероятность падения пассажирского самолета меньше 1/1000, но ужасно то, что она вообще больше нуля. Если вы поставили все свои деньги на Испанию, а выиграла Бразилия, вам нечего будет есть.

И какой же частью своих денег рискнуть? Когда Бернулли жил в России, его двоюродный брат Николай (Nicolaus Bernoulli, 1687–1759) предложил ему решить задачу, получившую название «санкт-петербургский парадокс». Условия: Павел предлагает Петру за умеренную фиксированную плату сыграть в простую игру: Павел бросает монету до тех пор, пока не выпадет орёл, и выплачивает Петру 1 дукат (по покупательной способности — около 1500 нынешних рублей), если орел выпал при первом броске, 2 дуката, если орел выпал при втором, 4 дуката, если в третьем, и так далее по степеням двойки. Вопрос заключается в том, какая плата будет слишком велика. Человеку трудно решиться в такой ситуации и на 20 дукатов, даже если он знает, что математическое ожидание его выигрыша — бесконечность.


Тот же вопрос можно задать иначе: за какую сумму Петру стоит продать третьему лицу свой шанс получить, вообще говоря, бесконечно большой выигрыш? И снова Бернулли дает то же значение — 20 дукатов. И дело в том, что вероятность выиграть эту сумму в предложенную Павлом игру для Петра оценивается в 6%, а тот, кто купит у него его шанс, сможет вернуть себе вложение в 20 дукатов лишь с вероятностью в 3%. Конечно, его шанс на выигрыш, который с лихвой покроет все затраты, вполне реален, но все же ничтожен.

Бернулли первым отметил: ущерб от потери начальных даже относительно небольших вложений может оказаться больше, чем польза от выигрыша значительно большей суммы.

Другой пример: Пётр и Павел имеют по 1000 рублей и держат пари на результаты матча «Испания — Бразилия». Допустим, шансы этих команд примерно равны. Ставка — 500 рублей, выигрывает Пётр. Но его радость от выигрыша меньше, чем огорчение Павла. Бернулли отметил, что разумнее вообще не заключать такого пари: «Опрометчивость игрока возрастает с увеличением части его состояния, которую он ставит в случайной игре».

Критерий Келли — это как раз формула, которая определяет допустимый размер ставки в зависимости от вашего капитала и вероятности победы Испании по оценке букмекера, с которым вы играете. Главное — не увлечься и не поставить сумму больше расчётной. А многие даже считают предложенный критерий слишком мягким и делают ещё более скромные ставки. Когда математики впервые опробовали этот критерий на скачках и в казино, они были охвачены энтузиазмом от своего могущества. Но потом оказалось, что выигранные суммы не стоили потраченного на них времени. Увы, тотализатор не источник крупного дохода. Это важно учесть азартным людям, которые после закрытия по всей России казино набросились на букмекерские сайты. По результатам опросов Национальной ассоциации букмекеров России, даже у заядлых болельщиков прогнозы сбываются примерно в 20% случаев. Футбол тем и прекрасен, что непредсказуем.

 

На сегодняшний день не существует достаточно корректного и надежного определения самого понятия «свободная воля». В последнее время вопросом о наличии свободы воли у живых существ заинтересовались наконец не только философы, но и экспериментаторы.



Известный ученый Стивен Хокинг не так давно писал: «Конечно, можно утверждать, что свободная воля все равно иллюзия. Если действительно существует всеобъемлющая физическая теория, которая управляет всем сущим, то следует полагать, что она детерминирует и наши действия. Однако она делает это так, что ее следствия невозможно предвычислить для такого сложного организма, как человеческое существо, и, кроме того, она включает определенный элемент случайности, соответствующий квантово-механическим эффектам. Это позволяет говорить, что наши декларации о свободной воле человека проистекают из невозможности предсказать, что он будет делать».



А вот что пишет по поводу свободы воли академик Б.Б. Кадомцев: «Под свободой воли мы будем понимать здесь свободу действий, или свободный выбор между двумя или несколькими альтернативами. Принято считать, что человек, безусловно, обладает свободой воли, будучи свободным в своих поступках. Разумеется, человеку часто приходится совершать вынужденные поступки под давлением внешних обстоятельств, однако и в этом случае последний выбор остается за ним.

Кадомцев определяет свободу воли как свободу выбора, но не объясняет, что такое свобода выбора. (Выбор, предопределенный генетически или обусловленный воспитанием, или являющийся следствием квантово-механической случайности, — свободен?)



А вот еще одно известное определение: «Свобода воли — это способность самостоятельно определять свои действия». Непонятно только, что значит «самостоятельно». (Действия, предопределенные генетически или обусловленные внушением или случайностью, — самостоятельны? Действия ребенка, копирующего взрослых, — самостоятельны?)

Есть способ доказать это математически. 



Это средство — ОПЕРАТОР СВОБОДНОГО ВЫБОРА (не путать с аксиомой выбора), действие которого определяется словами:

«пусть x — произвольно взятый элемент множества X». (*)



(Вместо термина «произвольно взятый» употребляются также его синонимы: «некоторый произвольный», «любой», «какой-либо», «какой-нибудь».)



Приведем пример использования оператора (*) при доказательстве одной из школьных теорем.



Теорема. Площадь каждого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. (Точнее: численное значение площади каждого треугольника равно половине произведения численного значения длины его основания на численное значение длины опущенной на это основание высоты.)



Доказательство. Рассмотрим произвольно взятый треугольник; обозначим его АВС. Далее, применяя общеизвестные построения и вычисления, докажем утверждение теоремы применительно к треугольнику АВС. Так как треугольник АВС был выбран произвольным образом, заключаем, что площадь каждого треугольника определяется по такой же формуле. Теорема доказана.



Замечание. Покажем, что «произвольный выбор» заменить на «случайный выбор» в доказательстве нельзя. Действительно, попробуем провести доказательство так: пусть АВС — некоторый случайным образом выбранный треугольник. Проведя для треугольника АВС соответствующие построения и вычисления, докажем для этого треугольника требуемую формулу. Так как треугольник АВС был выбран нами случайно (а не произвольно), то… закончить доказательство не удается. Из того, что для некоторого случайно выбранного треугольника верна какая-то формула, еще не следует, что эта формула верна для всех треугольников.



Мы видим, что комбинация слов «произвольно взятый элемент» обладает замечательной способностью фокусировать нас на одном-единственном объекте так, что результат наших рассмотрений оказывается приложим ко всем объектам сразу!



Приведем другой характерный пример применения оператора свободного выбора — на этот раз из математической физики. Рассуждение, взятое из книги Рихарда Куранта, приводится в сокращенном пересказе, с тем чтобы подчеркнуть применение оператора свободного выбора.



Итак, требуется установить, что некоторая функция U(Q), заданная на внутренности шара, при стремлении точки Q к границе шара стремится к заданным граничным значениям. Доказательство ведется следующим образом. Пусть P — произвольная точка на границе шара, Q — произвольная точка внутри шара. Доказываем, опираясь на геометрические соображения, что U(Q) сколь угодно мало отличается от граничного значения в точке P, если Q достаточно близка к P. Затем Курант сразу заключает: «Это завершает доказательство», опуская, как чересчур очевидное, соображение «так как точка P на границе шара была выбрана произвольно».



Замечание. Слова «так как элемент x был выбран произвольным образом, то проведенное рассуждение справедливо для всех x» представляют собой, по сути, вторую часть оператора (*) и должны завершать доказательство, начинающееся с применения оператора (*). В неформализованных (то есть не пользующихся языком формальной логики) математических текстах это соображение, как правило, опускается. В разделе логики, именуемом теория предикатов, упомянутое логическое действие называется правилом обобщения.



Зададим теперь себе вопрос: чья же свободная воля имеется в виду в каком-либо математическом тексте, использующем оператор (*)? Очевидно, что, поскольку математический текст призван убедить читателя в справедливости того или иного вывода, то имеется в виду именно свободная воля читателя. Иными словами, тысячи математиков, пишущих тексты, где явно или неявно используется оператор (*), предполагают наличие свободной воли у всех, кому они адресуют свои труды.



Итак, понятие «свободная воля» — один из инструментов значительной части математики (в частности — математического анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений), а также математической физики. С помощью этого понятия получена масса результатов, допускающих физическую проверку и выдержавших ее. Если свободная воля — иллюзия, то как объяснить предсказательную силу этих математических работ?



P.S. Еще одна идея заключается в том, что механизм, запрограммированный так, что термин «произвольный» воспринимается им как «случайный», легко отличим от человека (частный случай задачи, восходящей к Алану Тьюрингу). В качестве теста предлагается задача:



«Имеется последовательность из нулей и единиц. Первый член последовательности 1. Если для некоторого произвольно взятого номера n соответствующий член последовательности равен 1, то следующий за ним также равен 1. Верно ли, что вся последовательность состоит из единиц?»



Андроид (который понимает «произвольный» как «случайный») говорит: «Это утверждение недоказуемо».(Еще он может сказать, что в каждом из множества миров в этой последовательности будет свое количество единиц.)



Человек говорит: «Очевидно, верно».



P.P.S. Вариант теста. «На числовой оси задана функция f. Для произвольно взятого x доказано, что f(x)=1. Верно ли, что f(0)=1?»



Андроид (который понимает «произвольный» как «случайный») говорит: «Это, вообще говоря, неверно».



Человек говорит: «Очевидно, верно».



Замечание. То, что андроид будет прочитывать термин «произвольный» как «случайный», вовсе не обязательно. Это зависит от вложенного в него алгоритма. Однако такой способ запрограммировать андроида представляется мне наиболее естественным. Это, конечно, сужает область рассмотрения. Если посмотреть на проблему более широко, то можно предположить, что в результате саморазвития алгоритма мы обнаружим, что устройство реагирует на термин «произвольный» так же, как и люди. В этом случае я бы предложил считать устройство живым и ответственным за свои поступки.



О понятии «переменная величина»



Еще Диофант (III век) при решении уравнений использовал буквы для обозначения неизвестных, однако развитая система буквенных обозначений для нужд алгебры сформировалась гораздо позднее, после работ Виета (конец XVI века), применившего буквенную символику и для обозначения известных величин — коэффициентов рассматриваемых уравнений.



В дальнейшем, после работ Декарта, Ньютона, Лейбница, в математику прочно вошло понятие переменной, которую также стали обозначать при помощи букв. В сущности, без понятия переменной величины (как и без понятия числа) в наше время математика немыслима.



В современной математической логике понятие переменной фактически вытеснило понятие неизвестного.

Например, уравнение

х + 3 = 5 (1)

рассматривается как одноместный предикат, то есть выражение, зависящее от переменной х и превращающееся в высказывание (ложное или истинное) при подстановке вместо х какого-либо числового значения этой переменной. Что касается решения уравнения (1), то оно рассматривается как элемент множества истинности соответствующего предиката (то есть множества всех тех х, при которых предикат (1) превращается в истинное высказывание). В нашем случае, очевидно, упомянутое множество истинности состоит из единственного числа 2.



Такая точка зрения на уравнения позволяет избавиться от «лишнего» понятия неизвестное и унифицировать изложение материала, относящегося к теме «предикаты». Однако, математики, работающие не в сфере чистой логики, решая уравнения, обычно предпочитают иметь дело с неизвестным х, а не с переменной х.



С чисто математической точки зрения оба подхода эквивалентны, но с точки зрения педагога разница между ними существенна.



Дело в том, что понятие «неизвестное» гораздо проще , чем понятие «переменная» (на что обычно не обращают внимания). Недаром понятие «переменная» вошло в математический обиход спустя более тысячи лет после понятия «неизвестное»!



Если х — неизвестное решение какого-то уравнения (о котором мы знаем, что у него имеется одно-единственное решение), то

х — это имя индивидуального объекта.



Если мы имеем дело с уравнением, у которого несколько решений, то и здесь можно временно сосредоточиться на каком-то одном из решений, попрежнему считая, что х — это имя индивидуального объекта.



Если же х — переменная, то:

х — это не имя индивидуального объекта;



х — это не имя совокупности объектов;



х — это не имя какого-либо известного физического процесса.



Если, допустим, переменная х — это точка, пробегающая сферу, и мы спросим у двух разных математиков, где, по их мнению, расположена эта точка в данный момент времени и куда она движется, то мы получим, скорее всего, разные ответы.



Но тогда что же представляет собой переменная х? На мой взгляд, ответ на этот вопрос таков:

х — это переменная точка, то есть свободно выбираемый элемент из некоторого множества Х.



Таким образом, само понятие «переменная» не является, как мы видим, «первичным», а определяется через (беспрерывно возобновляемую) процедуру свободного выбора.



Итак, свободный выбор обнаружился — хотя и в скрытом виде — среди базовых, неустранимых понятий современной математики (и, в частности, математической логики). Так что свободная воля, видимо, — не иллюзия.



Могут ли эти «околоматематические» соображения как-то помочь отыскать механизм человеческого мозга, отвечающий за реализацию свободного выбора?